Непрерывность

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция непрерывна в , если существует предел при , равный :

.

Запишем это определение с кванторами:

,

или в неравенствах:

.

Определение. Если функция непрерывна в любой точке , то говорят, что она непрерывна на этом интервале.

Если функция не является непрерывной в точке , то называется точкой разрыва и говорят, что разрывна в .

Задача. Докажите, что функция непрерывна на всей оси.

Утверждение. Основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

(без доказательства)

Что касается свойств непрерывных функций, то ограниченность непрерывной функции в окрестности точки , непрерывность линейной комбинации, произведения и частного (при условии отличия от нуля знаменателя в точке ) двух непрерывных функций являются тривиальными следствиями соответствующих свойств предела функции.

Для примера докажем утверждение о непрерывности суммы непрерывных функций.

Утверждение. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда их сумма также будет непрерывной в точке .

Доказательство. Имеем и . Тогда .

Докажем вариант теоремы о предельном переходе в неравенстве для непрерывных функций.

Теорема (о сохранении знака непрерывной функцией). Пусть функция непрерывна в точке и пусть . Тогда сохраняет знак в некоторой окрестности точки .

Доказательство. 4Непрерывность функции означает, что . Тогда по лемме о сохранении функцией знака своего предела в некоторой проколотой окрестности точки функция сохраняет знак , то есть во всей этой окрестности не меняет знак.3

Упражнение. Пользуясь теоремами об арифметических действиях с пределами функций сформулируйте и докажите теорему о непрерывности линейной комбинации непрерывных функций, теоремы о непрерывности произведения и частного.

Теорема (о пределе сложной функции). Пусть функция , определенная в проколотой окрестности точки , имеет предел при :

. (1)

И пусть функция определена в некоторой окрестности точки , содержащей , и непрерывна в точке .

Тогда сложная функция определена в и существует предел

. (2)

(Другими словами, ).

Доказательство. 4Фиксируем произвольное . Из непрерывности функции в точке следует

, (3)

а из существования предела (1), что

. (4)

Объединяя (3) и (4), получим

.

Существование предела (2) доказано. 3

Следствие. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция будет непрерывной в точке .

Утверждение.

Доказательство. 4 3

Утверждение.

Доказательство. 4 .3

Примечание. Последние две формулы можно записать в следующем виде:

или

Замечание. Пусть непрерывные в нуле функции и эквивалентны при , а функция бесконечно малая при .

Тогда функция будет эквивалентна функции при .

Доказательство. ► В самом деле, эквивалентность функций и означает, что

, (5)

где - бесконечно малая функция при . Доопределим в нуле, положив . Равенство (5) не изменится, а функция будет в нуле непрерывной. Сделаем замену переменной , получим

,

где в силу теоремы о пределе сложной функции. ◄

Последнее замечание позволяет нам упрощать выкладки при вычислении пределов.

Утверждение.

Доказательство:

То есть мы можем записать:

или