![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
. Говорят, что функция
непрерывна в
, если существует предел
при
, равный
:
.
Запишем это определение с кванторами:
,
или в неравенствах:
.
Определение. Если функция непрерывна в любой точке
, то говорят, что она непрерывна на этом интервале.
Если функция не является непрерывной в точке
, то
называется точкой разрыва
и говорят, что
разрывна в
.
Задача. Докажите, что функция непрерывна на всей оси.
Утверждение. Основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.
(без доказательства)
Что касается свойств непрерывных функций, то ограниченность непрерывной функции в окрестности точки , непрерывность линейной комбинации, произведения и частного (при условии отличия от нуля знаменателя в точке
) двух непрерывных функций являются тривиальными следствиями соответствующих свойств предела функции.
Для примера докажем утверждение о непрерывности суммы непрерывных функций.
Утверждение. Пусть функции и
непрерывны в точке
. Тогда их сумма
также будет непрерывной в точке
.
Доказательство. Имеем
и
. Тогда
.
Докажем вариант теоремы о предельном переходе в неравенстве для непрерывных функций.
Теорема (о сохранении знака непрерывной функцией). Пусть функция непрерывна в точке
и пусть
. Тогда
сохраняет знак в некоторой окрестности точки
.
Доказательство. 4Непрерывность функции означает, что
. Тогда по лемме о сохранении функцией знака своего предела в некоторой проколотой окрестности точки
функция сохраняет знак
, то есть во всей этой окрестности не меняет знак.3
Упражнение. Пользуясь теоремами об арифметических действиях с пределами функций сформулируйте и докажите теорему о непрерывности линейной комбинации непрерывных функций, теоремы о непрерывности произведения и частного.
Теорема (о пределе сложной функции). Пусть функция , определенная в проколотой окрестности
точки
, имеет предел
при
:
. (1)
И пусть функция определена в некоторой окрестности точки
, содержащей
, и непрерывна в точке
.
Тогда сложная функция определена в
и существует предел
. (2)
(Другими словами, ).
Доказательство. 4Фиксируем произвольное . Из непрерывности функции
в точке
следует
, (3)
а из существования предела (1), что
. (4)
Объединяя (3) и (4), получим
.
Существование предела (2) доказано. 3
Следствие. Пусть функция непрерывна в точке
, а функция
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
будет непрерывной в точке
.
Утверждение.
Доказательство. 4 3
Утверждение.
Доказательство. 4 .3
Примечание. Последние две формулы можно записать в следующем виде:
или
Замечание. Пусть непрерывные в нуле функции и
эквивалентны при
, а функция
бесконечно малая при
.
Тогда функция будет эквивалентна функции
при
.
Доказательство. ► В самом деле, эквивалентность функций и
означает, что
, (5)
где - бесконечно малая функция при
. Доопределим
в нуле, положив
. Равенство (5) не изменится, а функция
будет в нуле непрерывной. Сделаем замену переменной
, получим
,
где в силу теоремы о пределе сложной функции. ◄
Последнее замечание позволяет нам упрощать выкладки при вычислении пределов.
Утверждение.
Доказательство:
То есть мы можем записать:
или
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 2451 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!