Число е. Рассмотрим числовую последовательность

Рассмотрим числовую последовательность

. (1)

Покажем, что эта последовательность сходящаяся.

Теорема. Последовательность (1) имеет конечный предел.

Доказательство. ►Рассмотрим вспомогательную последовательность

(2)

и докажем, что она имеет предел. Убедимся сначала, что последовательность (2) убывающая, для этого сравним с 1 отношение

.

Далее воспользуемся неравенством Бернулли:

.

Последовательность (2) является ограниченной снизу:

.

Итак, последовательность монотонна и ограничена, следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Но тогда имеет предел и последовательность , причем

◄

Пределом последовательности (1) является число, обозначаемое буквой , оно играет в анализе роль столь же важную как, например, единица в арифметике или в геометрии.

Число иррациональное, представляется бесконечной десятичной дробью, а начало его десятичного разложения имеет вид:

Задача. Доказать, что .

Второй замечательный предел

Теорема. Справедливо равенство

. (1)

Доказательство. 4Сначала покажем, что

. (2)

Заметим, что при будет выполнено , откуда, используя монотонность показательной ( при возрастает) и степенной ( возрастает при и ) функций, получим

(3)

Положим и . Имеем

(4)

(5)

Фиксируем произвольное . Из (4) и (5) следует, что существует такое , что при будет справедливо

и (6)

Возьмем и положим . Тогда будет , и в силу (3) и (6) имеем то есть

Формула (2) доказана.

Пусть теперь . Тогда

то есть

. 3