Занятие 28 Центр тяжести

Вопрос о центрах тяжести находится на стыке математики, прикладной и теоретической механики. Труды Аристотеля, Архимеда и Герона сохранены для всего средневековья. Леонардо да Винчи, несомненно, был знаком со многими трудами по механике. Помимо Аристотеля, Архимеда и Герона, он знал работы Евклида, Табита бен-Курра (826-901). Исследование центров тяжести плоских и объемных фигур, начатое великими мыслителями Архимедом и Героном, продолжил Леонардо да Винчи. Как Архимед нашел центр тяжести треугольника, так и Леонардо находит центр тяжести центр тяжести тетраэдра (а отсюда и произвольной пирамиды). К этому открытию он добавляет весьма изящную теорему о прямых, соединяющих вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней, пересекающихся в одной точке, являющейся центром тяжести тетраэдра и делящей каждую из прямых на две части, из которых та, что прилегает к вершине, втрое больше другой. Это первый результат, который наука добавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести.

Решение задач:

1. Из квадратной стальной пластины со стороной 20см вырезан прямой круглый цилиндр, ось которого перпендикулярна основанию пластины и расположена на диагонали основания на расстоянии четвертой части этой диагонали от ближайшей вершины квадрата. Найти положение центра тяжести такой пластины. Радиус цилиндра 5см.

СССОо·

-Р₁

h

С О А Р₁

Р

Решение: Центр тяжести цельной квадратной пластины расположен в точке О, а центр тяжести вырезанного цилиндра - в точке А. Центр тяжести фигуры, получившейся вычитанием цилиндра, расположен в точке приложения равнодействующей антипараллельных сил тяжести Р и –Р₁.

Для сложения таких сил известно

СО/АС = Р₁/Р.

Иначе СО/(АО +СО) = Р₁/Р.

Значит, АО/СО +1+= Р₁/Р.

АО – четверть диагонали основания пластины, а диагональ равна 2·ОВ = а√2.

АО =АВ = 1/4а √2. Искомый отрезок СО =1,73·10^-2м.

2. Кусок какой длины нужно отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на 10см?

3. Два шара одинакового объема, медный и цинковый, скреплены в точке касания. Найти положение центра тяжести системы шаров.

4. Из однородного диска радиусом 105,6см вырезан квадрат так, как показано на рисунке. Определить положение центра тяжести диска с таким вырезом.

5. В свинцовом шаре сделана сферическая полость, касающаяся поверхности шара и проходящая через его центр. Масса сплошного шара М, радиус шара R. Найти положение центра тяжести получившегося тела.