Занятия 25 Динамика твердого тела. Момент инерции. Уравнение моментов

В 1760 году вышла книга Леонардо Эйлера «Теория движения твердых и жестких тел». В этом труде Эйлер развил теорию моментов инерции и исследовал движение свободного твердого тела. Он пошел дальше исследования центрального движения, принятого со времен Ньютона, и рассмотрел в общем виде произвольное вращательное движение и движение под действием произвольных сил, подготовив, таким образом, почву для современной кинематики. В частности, вызывает восхищение в значительной части справедливое и сейчас аналитическое исследование движения волчка, в котором используются понятия момента и осей инерции.

Влияние собственных свойств тела на изменение вращательного движения оказывается значительно более сложным, чем в поступательном движении. Инертность тела по отношению к вращательному движению, ее влияние на угловое ускорение зависит не только от массы тела, но и от того, как она распределена относительно оси вращения. На инертность во вращательном движении влияют форма и геометрические размеры тела, его расположение относительно оси вращения, особенности распределения массы по объему тела. Момент инерции тела определяет инертность тела по отношению к вращательному движению. Инертность тела при вращении растет прямо пропорционально массе и квадрату расстояния от тела до оси вращения: J = mR². Так находится момент инерции кольца при вращении вокруг выбранной оси. Момент инерции однородного диска такой же массы и такого же радиуса должен быть меньше, чем у кольца, так как значительная масса диска сосредоточена ближе к оси вращения: J =1/2 mR². Момент силы М=βJ, где β – угловое ускорение. Это уравнение называется уравнением моментов.

Решение задач:

1. Маховое колесо некоторой машины имеет радиус 2м и массу 1т. Маховик вращается, делая 120 оборотов в минуту. По окончанию работы маховик тормозится колодками, которые действуют на обод маховика с силой 100кгс. Определить, через какое время после начала торможения остановится маховик?

Решение:

Для простоты будем считать, что вся масса маховика сосредоточена на ободе и кроме колодок ничто не мешает его движению. Маховик совершает вращательное движение. Сила действия колодок создает момент силы М = FR, тормозящий движения этого маховика. Вращательное движения маховика будет замедляться. Нужно применить уравнение моментов, принимая направление вращения маховика положительным.

- FR = Jβ,

Так как по условию задачи, вся масса маховика сосредоточена на ободе, то его момент инерции равен: J = mR².

Тогда: β = - F/mR.

По условию ускорение постоянно, тогда находим угловую скорость

ω = ω₀ + βt, β меньше 0.

По условию задачи ω = 0, тогда

β = -- F/mR.

Отсюда

t = ω₀mR/F, t=25с.

2. Определить момент инерции диска радиусом 20см и массой 1кг относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через: а) центр диска; б) середину одного из радиусов диска

3. Два маленьких шарика, массы которых 40г и 120г, соединены стержнем, длина которого 20см, а масса ничтожно мала. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей: а) через середину стержня; б) сквозь центр массы системы.

4. Найти момент инерции плоской однородной прямоугольной пластины массой 900г относительно оси, совпадающей с одной из сторон, если длина другой 20см.

5. Маховик, момент инерции которого J=63,6кг·м², вращается с постоянной угловой скоростью ω=31,4рад/с. Найти тормозящий момент, под действием которого маховик остановится через 20с.