Формула Байеса

Вернем к рассмотренной в предыдущем разделе задаче об электромоторах. Пусть смонтированное выбранным случайно электродвигателем устройство проработало до конца гарантийного срока безотказно. Какова вероятность того, что электродвигатель был изготовлен первым, вторым или третьим заводом.

Аналогично в задаче о шарах может быть интересно определить вероятность того, что первый шар (который, не глядя, спрятали) был белый или черный при условии, что второй шар оказался белым (или черным).

В примере с дальтонизмом может быть поставлена задача определения вероятности того, что наугад выбранный человек - дальтоник окажется женщиной (наугад может выбираться история болезни одного из дальтоников).

Все заданные выше вопросы приводят к рассмотрению общей задач увычисления вероятности события (гипотезы) H_j при условии, что событие А уже произошло, т.е. вычисления вероятностей P(H_j/A).

Более точная формулировка этой общей задачи выглядит следующим образом:

Имеется полная группа несовместных событий (гипотез) . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Они называются априорными (доопытными) вероятностями. Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Иными словами необходимо найти вероятности , которые называются апостериорными (послеопытными) вероятностями.

Для нахождения условной вероятности воспользуемся теоремой умножения вероятностей , которая очевидно может быть записана и иным образом: . Отсюда получаем . И далее .

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, окончательно будем иметь: .

Эта формула называется формулой Байеса или формулой гипотез.

Формула Байеса является одним из важнейших результатов теории вероятностей. Эта формула служит основанием для науки, занимающейся выработкой оптимальных решений в ситуациях неопределенности, когда имеют место какие-то случайные факторы. Эта наука называется теорией статистических решений, она имеет большое прикладное значение в самых разнообразных практических областях.

Вернемся теперь к задаче об электродвигателях. Пусть смонтированное выбранным случайно электродвигателем устройство проработало до конца гарантийного срока безотказно. Какова вероятность того, что электродвигатель был изготовлен первым, вторым или третьим заводом.

Для этого воспользуемся формулой Байеса и известными значениями вероятностей:

;

В результате будем иметь следующие апостериорные вероятности:

Рассмотрим еще одно применение формулы Байеса.

Задача. Некоторые приборы собираются либо из высококачественных деталей, либо из деталей обычного качества, причем приборов первого вида 40%, а второго вида соответственно 60%. В первом случае надежность прибора (вероятность безотказной работы) за год равна 0,90; во втором случае его надежность 0,60. Прибор в течение года вышел из строя. Надо принять решение, из каких деталей был собран прибор.