Условные вероятности

Допустим, что из общего числа N человек страдает дальтонизмом N_А человек. Все N человек делятся на N₁ женщин и N₂ мужчин, N₁ + N₂ = N. Случайное событие H₁ состоит в том, что наугад выбранный человек является женщиной, а событие H₂ состоит в том, что наугад выбранный человек является мужчиной. Случайное событие А состоит в том, что наугад выбранный человек (мужчина или женщина) страдает дальтонизмом

Для вероятностей (классических) рассмотренных событий имеют место следующие соотношения:

Будем интересоваться дальтонизмом не всех людей, а отдельно дальтонизмом женщин и мужчин. Найдём вероятность того, что наугад выбранная женщина страдает дальтонизмом; очевидно, эта вероятность равна отношению числа женщин, страдающих дальтонизмом, пусть это будет , к общему числу женщин. Для такой вероятности может быть применен символ P(A/H₁), который читается как: "вероятность события А (дальтонизм) при условии, что произошло событие H₁ (выбрана женщина)". Таким образом, могут быть записаны следующие соотношения:

Здесь выражение Р(АН₁) обозначена как раз вероятность произведения (одновременного наступления) событий А и H₁ (случайно выбранная женщина страдает дальтонизмом).

Заметим, что выражение для условной вероятности было получено в предположении применимости классического определения вероятностей (когда все элементарные события равновероятны). Тем не менее, в общем случае условная вероятность определяется аналогичным образом.

Пусть Н - некоторое случайное событие, имеющее ненулевую вероятность, и А - произвольное случайное событие. Условной вероятностью события А при условии Н (при справедливости гипотезы Н) называется величина, определённая соотношением: , где АН представляет собой событие одновременного наступления событий А и Н.

Иногда слова "при условии Н" заменяют словами "если известно, что Н произошло". Условные вероятности остаются неопределёнными, когда гипотеза Н имеет нулевую вероятность.

В противоположность условным вероятностям для большей ясности может использоваться термин безусловная вероятность.

Теоретически, переход от безусловных вероятночстей к условным приводит к замене пространства элементарных исходов Ω. на пространство элементарных исходов Н, являющееся частью исходного пространства Ω. Но всякая часть исходного пространства элементарных исходов является его подмножеством, а значит, по определению, случайным событием, которое мы называем Н. Отсюда следует, что все общие теоремы о вероятностях справедливы также и для условных вероятностей. Например, условная вероятность события противороложного событийю А записываются в виде:

Формула , выражающая значение условной вероятности события А, если известно, что событие Н произошло, может быть представлена в следующем виде:

.

Полученную формулу называют теоремой умножения вероятностей для так называемых зависимых событий А и Н. События А и Н могут быть независимыми, если появление одного из них никак не влияет на вероятность появления другого, то есть условная вероятность события А в предположении, что Н произошло, совершенно такая же, как и без этого предположения:

Р(А/Н) = Р(А).

Для независимых событий формула умножения вероятностей имеет вид: .

Таким образом для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей каждого из этих событий.