Поле сил. Консервативные силы. Потенциальная энергия и работа консервативной силы. Потенциальная энергия в поле сил притяжения, потенциальная энергия упругой деформации

Если на частицу в каждой точке пространства действуют силы, то частица находится в поле сил. Например, вблизи поверхности Земли частица находится в поле сил тяжести - в каждой точке на нее действует сила . Если есть система зарядов, то на любой другой заряд (например ) в любой точке будет действовать силы кулоновского взаимодействия: заряд находится в поле электростатических сил.

Силы, работа которых не зависит от пути, называются консервативными (рис. 12.1а):

для любого пути из “1” в “2”.

На рис.12.1б показана замкнутая траектория. В точку “1” можно попасть, пройдя траекторию “l”, а можно не “выходя” из точки “1”. Во втором случае
A = 0 (т.к. перемещение равно 0). Поскольку для консервативной силы, работа не зависит от пути, то и работа на замкнутом пути “l” тоже равна 0. Таким образом, работаконсервативной силы по замкнутой траектории равна 0. Запишем уравнение (10.4), в котором в дальнейшем, будем вместо индекса “S” писать индекс “l ” (т.е. перемещение обозначим ).

, (10.4а)

где - проекция силы на перемещение . Если надо в (10.4а) указать, что траектория замкнутая, то интеграл записывается так:

Такой интеграл называется “ циркуляцией ”.

Т.к. работа по замкнутой траектории равна нулю, то из (10.4а) получим для консервативной силы

- для консервативной силы.

Следовательно, можно сказать: циркуляция консервативной силы по замкнутой траектории (пути) равна нулю.

Силовое поле, у которого силы консервативны, называется потенциальным. Поскольку, работа в таком поле не зависит от пути, она должна зависеть от состояния системы в начальном и конечном положении. Физическая величина, зависящая от положения системы в поле консервативных сил и определяющая работу этих сил, называется потенциальной энергией ( ). В этом случае работа равна:

(12.1)

Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.

Y   I       рис.12.1

Покажем, что сила тяжести - консервативная сила и найдем потенциальную энергию в поле сил тяжести. Для этого надо показать, что работа этой силы не зависит от пути.

Рассмотрим движение тела из точки I в точку II (рис.12.1) по некоторой, произвольной, траектории.

Из рис.12.1 видно:

(12.2)

Из (12.2) видно, что работа силы не зависит от пути: в уравнение (12.2) входят только величины и , определяющие начальное и конечное положение частицы. (Из вывода очевидно, что для любой другой траектории, начинающейся в точке I и заканчивающейся в точке II - результат не изменился бы). Сравнивая (12.2) и (12.1) находим, что потенциальная энергия в поле сил тяжести равна:

- при действии силы тяжести (12.3),

где h - расстояние от нулевого уровня до частицы или центра тяжести тела.

Рис. 12.2

Консервативной силой является также сила упругости. Найдем работу этой силы на примере пружины. (рис.12.2) На точку A действует сила упругости, модуль которой равен

Пусть в результате действия этой силы частица переместилась на . Т.к. , то можно считать, что сила не изменилась на перемещение

(12.4)

Сравнивая с (12.1) находим:

- при действии силы упругости (12.5)