Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства

Дана в линейном пространстве система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є L.

Определение: Вектор α₁ а₁+ α₂ а₂+…+ α_n а_n Є L, где α_i (i = 1,…,n) - числа, называется линейной комбинацией (ЛК) векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n.

Определение: Система векторов линейного пространства а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є L называется линейно независимой (ЛНЗ), если линейная комбинация

α₁ а₁+ α₂ а₂+α₃ а₃+…+ α_n а_n=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты

α ₁ =α ₂ =α ₃ =…=α _n=0.

Определение: Система векторов а_1, а_2, а_{3, …} а_n Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α_1, α₂ ,α₃ … α_{n ,} не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α₁ а₁+ α₂ а₂+…+ α_n а_n= 0.

Примеры:

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой.

1) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ =0 .

α2а2

α1а1+α2а2

а₁ α₁ а₁

Два ненулевых, не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

2) Рассмотрим два ненулевых, коллинеарных вектора а₁ ║а₂.

а1

а2

Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.