Дисперсионный анализ

Режим работы «Однофакторный дисперсионный анализ» служит для выяснения факта влияния контролируемого фактора A на результативный признак Y на основе выборочных данных.

В диалоговом окне данного режима (рисунок 9) задаются следующие параметры:

- Входной интервал;

- Группирование;

- Меткие первой строке/Метки в первом столбце;

- Альфа - вводится уровень значимости α, равный вероятности возникновения ошибки первого рода (отвержение нулевой гипотезы);

- Выходной интервал/Новый рабочий лист/Новая рабочая книга.

Рисунок 9 - Диалоговое окно режима «Однофакторный дисперсионный анализ»

Пример 5. Выборочные данные об объеме работ, выполненных на стройке (за смену) четырьмя бригадами, приведены в таблице 9, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel.

Таблица 9 – Исходные данные

	В	С	D	Е	F
	Объем выполненной работы
	Номер смены	Бригада 1	Бригада 2	Бригада 3	Бригада 4

При уровне значимости a = 0,05 требуется выяснить, зависит ли объем выполненных работ от работающей бригады.

Для решения задачи используем режим работы «Однофакторный дисперсионный анализ». Значения параметров, установленных в одноименном диалоговом окне, показаны на рисунке 10.

Рисунок 10 - Диалоговое окно режима «Однофакторный дисперсионный анализ» с заданными параметрами

Но прежде чем проводить анализ данных в сгенерированных таблицах, покажем, как с помощью критерия Бартлетта проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий .

Показатели, рассчитанные в ходе проверки данной гипотезы, представлены в таблице 10.

Таблица 10 - Результаты расчета для режима «Однофакторный дисперсионный анализ»

	B	C	D	E	F
		Бригада 1	Бригада 2	Бригада 3	Бригада 4
	Число наблюдений
	Оценки s2i	4,92	1,58	1,67	4,92
	Оценки s2	3,27
	q	0,878
	wp	1,540
		7,81

Содержимое ячеек в таблице 10:

- в массиве C10:F10 определяются объемы выборок n_i (например, ячейка С10 содержит формулу =СЧЕТ(С5:С8));

- в массиве C11:F11 вычисляются несмещенные оценки s²_i групповых дисперсий (например, ячейка С11 содержит формулу =ДИСП(С5:С8));

- ячейка С12 содержит формулу {=СУММПРОИЗВ(С10:Р10-1; C11:F11)/CУMM(C10:F10-l)} - рассчитывается объединенная оценка s²;

- ячейка С13 содержит формулу {=1/(1+1/(3∙(4-1)) ∙ (СУММ (l/(C10:F10-l))-l/CyMM(C10:F10-l)))} - вычисляется значение коэффициента q;

- ячейка С14 содержит формулу {=С13∙СУММПРОИЗВ(С10::F10-1;LN(C12/C11:F11))} - рассчитывается значение критерия Бартлетта w_p;

- ячейка С16 содержит формулу =ХИ2ОБР(0,05;3) - определяется значение правосторонней критической точки .

Так как значение w_p = 1,540 не попадает в критическую область (7,81; + ¥), то гипотеза принимается и можно приступить к проверке гипотезы . Показатели, рассчитанные в ходе проверки данной гипотезы, представлены в таблицах 11 и 12.

Таблица 11 - Результаты расчета однофакторного дисперсионного анализа

	B	C	D	E	F
	Однофакторный дисперсионный анализ
	ИТОГИ
	Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
	Бригада 1			142,75	4,916667
	Бригада 2			150,25	1,583333
	Бригада 3			147,5	1,666667
	Бригада 4			152,75	4,916667

Таблица 12 - Результаты расчета дисперсионного анализа

	B	C	D	E	F	G	H
	Дисперсионный анализ
	Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F крити-ческое
	Между группами	220,19		73,40	22,44	3,28E-0,5	3,49
	Внутри групп	39,25		3,27
	Итого	259,44

Таблица 12 называется таблицей однофакторного дисперсионного анализа. Как видим, расчетное значение F -критерия F _p = 22,44, а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,49; +¥). Так как значение F_p попадает в критическую область, то гипотезу H₀ о равенстве групповых математических ожиданий отвергаем, т.е. считаем, что объем ежедневной выборки зависит от работающей бригады.

Рассмотрим более подробно механизм расчета основных по­казателей, представленных в таблице 12.

В ячейке С31 (показатель SS между группами) рассчитывается взвешенная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей выборочной средней .

В ячейке С32 (показатель SS внутри групп) вычисляется оста­точная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений уровня от своей выборочной средней .

В ячейке С33 (показатель SS итого) рассчитывается общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней .

В ячейках D31:D33 (показатель df) определяются степени свободы:

k_ф = т - 1 = 4 -1 = 3;

k₀=п-т = 16-4 = 12;

k_Y = (т - 1 ) + (п - т) = п - 1 = 16 - 1 = 15.

В ячейках Е31:Е32 (показатель MS) вычисляются несмещенные оценки и .

, (5)

. (6)

В ячейке F31 (показатель F) вычисляется расчетное значение критерия F_p:

. (7)

В ячейке G31 (показатель Р-значение) определяется Р-значение, соответствующее расчетному значение критерия F_p, с помо­щью формулы =FPACII(F31;D31;D32).

В ячейке Н31 (показатель F критическое) рассчитывается значение правосторонней критической точки с помощью формулы =FPACПОБP(0,05;D31;D32).