Понятие статистической гипотезы

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности (случайной величине), проверяемое по выборке (по результатам наблюдений). Процедуру сопоставления высказанной гипотезы с выборочными данными называют проверкой статистической гипотезы.

По прикладному содержанию можно выделить следующие неосновные виды высказываемых в ходе статистической обработки выданных гипотез:

- о типе закона распределения исследуемой случайной величины;

- об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

- о числовых значениях исследуемой генеральной совокупности;

- о типе зависимости между компонентами исследуемого многомерного признака;

- о независимости и стационарности обрабатываемого ряда наблюдений.

Проверяемую статистическую гипотезу принято называть основной (или нулевой) гипотезой (обозначается H₀ ), а противоречащую ей гипотезу - альтернативной (или конкурирующей) гипотезой (обозначается Н₁).

Поскольку при проверке статистических гипотез приходится иметь дело со статистическим материалом, то, отвергая или принимая нулевую гипотезу, всегда рискуем совершить ошибку. Ошибку, заключающуюся в том, что нулевая гипотеза отвергается, тогда как она в действительности верна, называют ошибкой первого рода. Ошибку, состоящую в том, что нулевая гипотеза не отвергается, тогда как она в действительности неверна, называют ошибкой второго рода.

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью различных статистических критериев. В качестве критерия используется некоторая случайная величина, значения которой могут быть вычислены на основе имеющихся данных. В множестве возможных значений критерия выбирается подмножество, называемое критической областью. Если вычисленное значение критерия принадлежит критической области, то нулевая гипотеза отвергается. Критическая область выбирается таким образом, чтобы вероятность совершить ошибку первого рода не превосходила некоторого заранее определенного положительного числа a. Это число a называют уровнем значимости и говорят: «нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости a, в качестве a обычно берут одно из чисел: 0,05; 0,01; 0,001.

Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается b. Величина 1 - b называется мощностью критерия; она равна вероятности отвергнуть неверную гипотезу.

Чаще всего множество возможных значений критерия принадлежит некоторому интервалу. Интервалом является и критическая область. Граничные точки критической области называются критическими точками, Критические точки выбираются таким образом, чтобы при выбранном уровне значимости a мощность критерия (1 - b) была наибольшей.

Возможны три вида расположения критической области (в зависимости от вида нулевой и альтернативной гипотез, вида и распределения статистического критерия j):

1) правосторонняя критическая область, состоящая из интервала , где точка определяется из условия и называется правосторонней критической точкой, отвечающей уровню значимости a;

2) левосторонняя критическая область, состоящая из интервала (-¥; ), где точка определяется из условия и называется левосторонней критической точкой, отвечающей уровню значимости a;

3) двусторонняя критическая область, состоящая из следующих двух интервалов: (-¥; ) и (;+¥), где точки и определяются из условий и и называются двусторонними критическими точками.

Наиболее распространенными являются критерии, в основе которых лежат известные распределения: c², Стьюдента, Фишера.