Аналитические методы

Представим себе бак с жидкостью (рис.11). В нижней части бака просверлено отверстие, через которое вытекает вода. Площадь сечения бака обозначим через S, а площадь сечения отверстия – через S₀. Построим модель, которая связывает уровень воды в баке h (в метрах) и расход вытекающей воды q (в м³/с). Эту связь можно найти с помощью закона Бернулли, который в данном случае принимает вид

(6.1)

Здесь ρ – плотность жидкости (в кг/м³), g ≈ 9,81 м/с² – ускорение свободного падения, v – скрость вытекания жидкости (в м/с). Отсюда получаем . Учитывая, что расход воды вычисляется как , находим

(6.2)

где – постоянная величина. Это статическая модель, потому что она не содержит производных, характеризующих изменение сигналов во времени. Статическая модель описывает установившееся состояние (статический режим), когда в баке поддерживается постоянный

уровень воды и поток вытекающей воды тоже постоянный.

Рис.11 Объект управления- бак с жидкостью

Очевидно, что уравнение (6.2) – нелинейная, поскольку содержит . Линеаризовать ее значит приближенно заменить уравнение (6.2) линейным уравнением q = k h, где k – некоторый коэффициент. Как его выбрать? На этот вопрос нет однозначного ответа.

Предположим, что уровень воды изменяется в интервале от 0 до 1 м. Тогда один из вариантов вычислить коэффициент как угол наклона отрезка, соединяющего точки кривой на концах этого интервала. Для определенности далее везде принимаем , тогда получаем k =1.

Конечно, эта модель очень грубая и дает большую ошибку, особенно для уровней в диапазоне от 0,1 до 0,6. Чтобы уменьшить ошибку, можно попробовать несколько изменить k (например, увеличив его до 1, 2), однако точность приближения по-прежнему будет невысока, хотя и чуть-чуть лучше, чем в первом случае.

Рис.12 Кривые q(h) зависимости

Теперь предположим, что обычно уровень мало изменяется вблизи среднего значения h = 0,5 м. В этом случае можно применить другой подход. Заметим, что в этой области кривая почти совпадает с касательной в точке , угол наклона которой равен производной:

Касательная – это прямая с наклоном k, проходящая через точку , ее уравнение имеет вид q = kh + b. Свободный член b определим из равенства

,

так что получаем модель:

. (6.3)

Это линейное уравнение, однако модель (6.3) – нелинейная, поскольку для нее не выполняется, например, свойство умножения на константу. Это легко проверить, сравнив U[2h] и 2U[h].

, .

Принцип суперпозиции также не выполняется.

Для того, чтобы получить из (6.3) линейную модель, нужно записать уравнения в отклонениях от рабочей точки (h₀; q₀), в которой мы определяли наклон касательной. Из (6.3) следует, что

Поскольку график зависимости (6.3) проходит через точку (h₀; q₀), можно применить равенство

. (6.4)

Тогда из (6.4) находим

(6.5)

Полученное таким образом уравнение – это линейная модель объекта, записанная в отклонениях входа и выхода от номинальной (рабочей) точки (h₀;q₀). Приближенная модель (6.5) точнее всего соответствует объекту вблизи этой точки, а при больших отклонениях от нее ошибка может значительно возрастать.