![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В этой большой классической теме мы ограничимся только одной задачей: приближением с помощью последовательностей Фарея.
Определение 4. Последовательностью Фарея порядка n называется множество , состоящее из всех несократимых дробей, знаменатель которых не превосходит n, записанных в порядке возрастания.
Например, .
Следующая теорема описывает рекуррентную процедуру, позволяющую строить Fn.
Теорема 3. 1) Если - две соседние дроби в Fn, то a 2 b 1- a 1 b 2=1. 2) Алгоритм перехода от Fn к Fn+ 1 осуществляется следующим образом. Рассмотрим
- две соседние дроби в Fn. Если b 1+ b 2> n +1, то между
не появляется нового элемента. Если b 1+ b 2= n +1, то между
появляется единственный новый элемент – медианта этих дробей:
.
Следующая теорема, принадлежащая Гурвицу, доказывается с помощью последовательностей Фарея. Она позволяет строить бесконечную последовательность хороших рациональных приближений для иррациональных чисел.
Теорема 4. Если a - вещественное иррациональное число, то существует бесконечно много несократимых дробей таких, что
. (12)
Пример 12. Найти следующее после приближения Архимеда рациональное приближение для числа a=p-3, удовлетворяющее неравенству (12).
Решение. Будем искать необходимое рациональное приближение среди соседних k a дробей в Fn. Отметим, что a=0,1415926… Начнем с F 5: Далее увеличиваем n, используем утверждение 2) теоремы 3.
F 6: F 7:
F 8:
F 15: F 22:
F 29:
…
F 106: F 113:
Пусть . Тогда
, т.е. ответом к данному примеру является приближение
.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 339 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!