Тема 5. Решение диофантовых уравнений

Мы рассмотрим несколько примеров нахождения целочисленных решений алгебраических уравнений с несколькими переменными (диофантовых уравнений).

Пример 9. Найти все решения линейного уравнения 5 х -7 у =13, х, у ÎZ.

Решение. Сведем к примеру 8: 5 х º 13 (mod 7) Þ х º 4 (mod 7) Þ х º 4 (mod 7), т.е. х= 4+7 k, kÎZ, а тогда из исходного уравнения . Итак, х= 4+7 k, у= 1+5 k, kÎZ.

Пример 10. Уравнение Пифагора х ²+ у ²= z ² имеет «основную» серию решений х =2 МN, у=N ²- M ², Z=N ²+ M ², где N,M – натуральные числа, N>M, N-M – нечетное число. Остальные решения уравнения Пифагора получаются заменами х «у; х ® -х; у ® -у; z ®- z; (x,y,z)®(kx,ky,kz), k Î Z; x =0, y =± z и т.д.

В частности, при М=1, N=2 получим х =4, у =3, z =5 – стороны знаменитого египетского треугольника.

Пример 11. Найти все целочисленные решения уравнения х ²+6 ху +5 у ²=12.

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения: (х +5 у)(х + у)=12. Тогда х +5 у, х + у Î Z, (х+ 5 у) - (х+у) = 4 у – делится на 4. Поэтому имеем только 4 возможности:

т.е. (1;1), (7;-1), (-1;-1), (-7;1) – искомые решения.

Отметим, что не существует общего алгоритма для решения диофантовых уравнений.