Лабораторна робота №2. Розв’язати систему рівнянь з кількістю значущих цифр m = 6

Лабораторна робота №2

Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) ітераційними методами. Метод простої ітерації. Метод Зейделя

Зміст

1 Теоретичні відомості 2

2 Завдання. 3

3 Варіанти завдань. 3

4 Вимоги до звіту. 5

5 Література. 5

1 Теоретичні відомості

Ітераційними методами є такі, що навіть у припущенні, що обчислення ведуться без округлень, дозволяють отримати розв’язок системи лише із заданою точністю. До таких методів відносяться метод простої ітерації (метод Якобі) та метод Зейделя.

Будемо розглядати системи вигляду

Ax = b,

(1)

де A (n × n) - матриця системи, b - вектор правої частини, x - вектор розв’язку.

Метод простої ітерації.

Систему Ax = b приводять до вигляду

x = Cx +d,

(2)

де C - деяка матриця, для якої виконується

або або

(3)

d - вектор-стовпець.

Умова (3) буде виконана, якщо матриця А є матрицею з діагональною перевагою, для якої або

Розглянемо спосіб зведення (1) до (2). Запишемо (1) у розгорнутій формі:

(4)

Якщо a_ii≠ 0 для всіх i, то можна (4) зобразити у вигляді

(5)

Звідси отримуємо значення елементів матриці С та вектору d:

Запишемо розв’язок у матричному вигляді. Нехай матрицю А задано у вигляді:

А = А₁ + D + А₂,

де А₁ – нижня трикутна матриця з нульовою головною діагоналлю; D – діагональна матриця з a_ii на головній діагоналі; А₂ – верхня трикутна матриця з нульовою головною діагоналлю.

За припущенням a_ij≠ 0 для всіх i, існує D^-1. Тоді зображенню у формі (5) відповідає

або

.

Якщо матриця А не забезпечує виконання (3), тобто не є матрицею з діагональною перевагою, її приводять до такої за допомогою еквівалентних перетворень.

Виходячи з довільного вектора x⁽⁰⁾ (можна взяти вектор b, або вектор b, поділений на діагональ матриці А) будують ітераційний процес:

або

Критерій закінчення ітераційного процесу:

.