Фінансові ренти

У фінансовій діяльності нерідко здійснюються декілька наступних один за іншим платежів – потік грошових платежів. Це, наприклад, щорічні виплати відсотків по облігаціях, періодичні внески в банк для утворення страхового фонду, щомісячні виплати боргу по споживчому кредиту, одержання щомісячної стипендії від благодійного фонду і тому подібні платежі. При всіх таких платежах відбувається нарахування відсотків на гроші, що знаходяться в обороті. При вивченні потоку платежів можуть виникнути дві основні задачі: знайти нарощену суму, тобто суму потоку платежів з відсотками, або, навпроти, по нарощеній сумі визначити величину окремого платежу. Для окремого виду потоку платежів – фінансових рент – розроблені математичні методи розв'язання подібних задач. Ці методи розглянуті нижче.

При визначенні різних формул, що відносяться до розрахунків фінансових рент, ми будемо застосовувати формулу суми перших п членів геометричної прогресії. Нагадаємо, що геометричною прогресією називається послідовність чисел: b1, b2,..., bп, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число q, що називається знаменником прогресії. Сума Sn перших п членів геометричної прогресії, у якої q=1, обчислюється за формулою:

.

Фінансовою рентою (ануітетом) називається послідовність платежів, що здійснюються через рівні проміжки часу.

Розглянемо загальний випадок: робиться п платежів, наприклад, внесків у банк, кожний з яких дорівнює R; періоди часу між платежами однакові, і наприкінці кожного з них на всі зроблені до цього моменту платежі нараховуються складні відсотки по ставці i. Зобразимо цю ренту на осі часу:

Виведемо формулу обчислення нарощеної до моменту n суми ренти, котру будемо позначати буквами АМ.

Платіж, зроблений у момент n, входить у нарощену суму без зміни, тобто в розмірі R. Сума, нарощена до моменту n на платіж, зроблений у момент n–1, дорівнює R(1+i). Сума, нарощена до моменту п на платіж, зроблений у момент п–2, дорівнює R(1+i)² і т.д. Сума, нарощена до моменту п на платіж, зроблений у момент 2, дорівнює R(1+i)^n-2. Сума, нарощена до моменту на платіж, зроблений у момент 1, дорівнює R(1+i)^п-1. Отже, нарощена сума всієї ренти в момент п буде дорівнювати:

FV=R+ R(1+ i)+R(1+i)²+...+ R(1+i)^n-2+R(1+i)^n-1

Додатки цієї суми є членами геометричної прогресії, перший член якої b=R, знаменник q=1+i; і число членів дорівнює n. Знаходимо суму перших п членів цієї геометричної прогресії:

.

Тобто при розрахунку майбутньої вартості ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо), коли внески робляться наприкінці кожного періоду, застосовується наступна формула:

, де

FVApost – майбутня вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо);

R – член ануітету, що характеризує розмір окремого платежу;

i – використовувана процентна ставка, виражена десятковим дробом;

n – кількість інтервалів, по яких здійснюється кожен платіж, у загальному обумовленому періоді часу.