Поляризованность. Связь между Р и Е. Сегнетоэлектрики

Поляризованность Р. Для количественного описания поляризации диэлектрика естественно взять дипольный момент единицы объема. Если внешнее поле или диэлектрик (или то и другое) неоднородны, степень поляризации оказывается различной в разных точках диэлектрика. Чтобы охарактеризовать поляризацию в данной точке, выделяют физически бесконечно малый объем DV, содержащий эту точку, затем находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме и составляют отношение

(3.2) Вектор Р называют поляризованностью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному мо­менту единицы объема вещества. Пусть в объеме DV содержится D N диполей.. Умножим и разделим правую часть выражения (3.2) на DN. Тогда P=n<p>, (3.3), где n = DN/DV — концентрация молекул (их число в единице объема); <p> = (Sp_i)/DN — средний дипольный момент одной молекулы.

Другое выражение для Р соответствует модели диэлектрика как совокупности положительной и отрицательной «жидкостей». Выделим очень малый объем DV внутри диэлектрика. Приполяризации входящий в этот объем положительный заряд r'₊ DV сместится относительно отрицательного заряда на величину l, и эти заряды приобретут дипольный мо­мент Dp = r'₊ DV • l. Разделив обе части этого равенства на DV, по­лучим вектор Р: P=r'₊ l (3.14) Единицей поляризованности Р является кулон на квадрат­ный метр (Кл/м²).

Связь между Р и Е. Как показывает опыт поляризованность Р зависит линейно от напряженности Е поля в диэлект­рике. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, тоP=Àe₀E (3.5), где À — безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е, она характеризует свойства самого диэлектрика. Всегда À > 0.

Существуют диэлектрики, для которых (3.5) не применимо. Это некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между Р и Е нелинейная и зависит, кроме того, от предыстории диэлектрика, т. е. от предшествующих значений Е (это явление называют гистерезисом).

Теорема Гаусса для вектора Р (интегральная и дифференциальная форма). Условие при которых в диэлектрике объемная плотность связанных зарядов равна нулю. Граничные условия для вектора Р.

Теорема Гаусса для поля вектора Р. Поток вектора Р сквозь про­извольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, т. е.

(3.6) Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора Р.

Доказательство.Пусть произвольная замкнутая по­верхность S охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, а, диэ­лектрик заштрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик поля­ризуется — положительные заряды сместятся относите­льно отрицательных. Найдем заряд, который проходит че­рва элемент dS замкнутой поверхности S наружу (рис. 3.2, б). Пусть l ₊ и l _ — векторы, характеризующие смещения поло­жительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда через элемент поверхности dS на­ружу поверхности S выйдет положительный заряд r'₊ l ₊dScosa, заключенный во «внутренней» части косого цилиндра (рис. 3.2, б). Кроме того, через элемент d S войдет внутрь поверхности S отрицательный заряд r'_ l _dScosa, заключенный во «Внешней» части косого цилиндра. Но перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направле­нии. Учитывая это, можно записать суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS, как dq’=r₊l₊dScosa+|r'_|l_dScosa. Поскольку ïr'₊ï=r'₊: dq’=r₊(l₊l_)dScosa=ρ’+ldScosa. (3.7), где l = l ₊ +l_ — расстояние, на которое сместились относитель­но друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации. Далее, r'₊ l= Р и dq' = PdScosa, или dq'=P_ndS= P d S (3.8). Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверх­ности S, мы найдем весь заряд, который вышел при поляриза­ции из объема, охватываемого поверхностью S, он равен . В результате внутри поверхности S останется некоторый избыточный связанный заряд q'. Вышедший заряд должен выть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду, и мы приходим к (3.6).

Дифференциальная форма. Ñ×Р = –r', (3.9) т. е. дивергенция поля вектора Р равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке. Это уравне­ние можно получить из (3.6) заменой Е на Р и r на r'.

Когда в диэлектрике r'=0? Объем­ная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлект­рика будет равна нулю при выполнении двух условий: 1) диэлектрик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторонних зарядов (r = 0). Действительно, из основного свойства поля вектора Р (3.6) следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив Р на Àe_о E согласно (3.5), вынести À из-под знака интеграла и за­писатьÀ:

Оставшийся интеграл есть алгебраическая сумма всех зарядов — сторонних и связанных — внутри рас­сматриваемой замкнутой поверхности S, т. е. q + q'. Поэтому À(q + q') = -q', откуда q’=qÀ/(1+À) (3.10). Это соотношение между избыточным связанным зарядом q' и сторонним зарядом q справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда q' - dq' = r'dV и q - dq = rdV. Тогда (3.10) после сокраще­ния на dV примет вид ρ’=ρÀ/(1+À) (3.11). Значит, в однородном диэлектрике r' = 0, если r = 0. Т. о., если в произвольное электрическое поле поместить однородный изотропный диэлектрик, при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.

Граничные условия для вектора Р. Рассмотрим поведение вектора Р на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. У таких диэлектри­ков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанный заряд. Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью s' связанных зарядов на границе раздела диэлект­риков. Для этого воспользуемся свойством (3.6) поля вектора P. Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский цилиндр, торцы которого расположим по разные стороны, границы раздела (рис. 3.3). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а площадь DS каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца цилиндра вектор Р выл бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности s ' связанного заряда). Пусть n — общая нормаль к границе раз­дели в данном месте. Условимся всегда проводить вектор n от диэлектрика 1 к диэлектрику 2. Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6): P _2n DS+P _1n¢ DS=–s¢DS, где P_2n и P_1n¢ - проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль n и в диэлектрике 1 на нормаль n' (рис. 3.3). Учитывая, что проекция вектора Р на нормаль n' равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль n, т. е.

Р_{1 n¢} = -Р_{1 n}, перепишем предыдущее уравнение: P_2n – P_1n= –s¢. (3.12). Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормаль­ная составляющая вектора Р испытывает разрыв, величина ко­торого зависит от s '. В частности, если среда 2 вакуум, то Р_2п = 0, и условие (3.12) приобретает более простой вид:

s ' = Р_n (3.13), где Р_п — проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхно­сти данного диэлектрика. Знак проекции Р_п определяет и знак поверхностного связанного заряда s' в данном месте. Послед­нюю формулу можно представить в другом виде, а именно в со­ответствии с формулой (3.5) можно записать:

s '=À e₀ E_n (3.14), где Е_п — проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак Е_п определяет знак s '.

Теорема Гаусса для вектора D (интегральная и дифференциальная форма). Связь между векторами D и Е. Условия на границе раздела двух диэлектриков. Преломление линии. Условие на границе проводник - диэлектрик. Связанный заряд у поверхности проводника.

Теорема Гаусса для вектора D. Поскольку источника­ми поля Е являются все электрические заряды — сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так: (3.15) где q и q' — сторонние и связанные заряды, охватываемые по­верхностью S. Появление связанных зарядов q ' усложняет дело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахождения поля Е в диэлектрике. Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды q', которые в свою оче­редь определяются неизвестным полем Е. Это затруднение можно обойти, если выразить за­ряд q' через поток вектора Р по формуле (3.6). Тогда выражение (8.15) можно преобразовать к такому виду: (3.16)Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой D. Итак вспомогательный вектор D:

D = e₀ Е + Р (3.17), поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватывае­мых этой поверхностью: (3.1). Это и есть теорема Гаусса для поля вектора D. Вектор D представляет собой сумму двух совер­шенно различных величин: е₀ Е и Р. Поэтому он не имеет глубокого физического смысла. Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэ­лектрика, как изотропного, так и анизотропного. Размерность вектора D та же, что и вектора Р. Единицей величины D служит кулон на квадратный метр (Кл/м²).

Дифференциальная форма уравнения: Ñ× D =r (3.19) т. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности сторонне­го заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.18) заменив Е на D и учесть лишь сторонние заряды. В тех точках, где дивергенция D положительна, мы имеем источ­ники поля D (r > 0), а в тех точках, где она отрицательна, — стоки поля D (r < 0).

Связь между векторами D и E. Вслучае изотропных диэлек­триков поляризованность Р = Àe₀ Е. Подставив это соотношение в (3.17), получим D =e ₀(1 + À) Е, или

D = ee_о E (3.20) где e — диэлектрическая проницаемость вещества: e= 1 +À. (3.21) Диэлектрическая проницаемость e (как и À) является основ­ной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех ве­ществ e>1, для вакуума e=1. Значения e зависят от природы диэлектрика. Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор D коллинеарен вектору Е. В анизотропных же диэлект­риках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны. Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью ли­ний вектора D, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е. Линии вектора Е мо­гут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и стоками поля Е являются любые заряды. Источниками же и стоками поля вектора D являются только сторонниезаряды: только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора D. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Условия на границе. Пусть для большей общности на границе раздела диэлектриков нахо­дится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия не­трудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуля­ции вектора Е и теоремы Гаусса для вектора D:

Условие для вектора Е. Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно Е₁, а в диэлектрике 2 — Е₂. Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как указано на рис. 3.7. Стороны контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле Е в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой. Тогда согласно теореме о циркуляции вектора Е: Е_2t l + Е_{1t ¢} l = 0, где проекции вектора Е взяты на направление обхода контура, указанное на рисунке стрелками. Если на нижнем участке кон­тура проекцию вектора Е взять не на орт t¢, а на общий орт t, то E _1t¢ = - E _1t и из предыдущего уравнения следует, что E_1t = E_2t (3.22) т. е. тангенциальная составляющая Е оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка).

Условие для вектора D. Возьмем очень малой высоты цилиндр, располо­жив его на границе раздела двух диэ­лектриков (рис. 3.8). Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор D был одина­ков. Тогда согласно теореме Гаусса для вектора D: D_{2 n} DS + D_{1 n¢} DS = s DS, где s — поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора D на общую нормаль n (она направлена от диэлектрика 1 к диэлектрику 2), получим D_1n¢ = –D_ln и предыдущее уравнение можно привести к виду D_2n-D_ln=s (3.23) Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора D, претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (s = 0), то D_1n = D_2n (3.24) В этом случае нормальные составляющие вектора D скачка не испытывают, они оказываются одинаковыми по разные сторо­ны границы раздела. Т. о., если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при пере­ходе этой границы составляющие E_t и D_t не изменяются. Со­ставляющие же E_n и D_t претерпевают скачок.

Преломление линий E и D. Полученные условия для составляющих векторов Е и D на границе разде­ла двух диэлектриков означают, как мы сейчас увидим, что линии этих векторов испытывают на этой границе излом, преломляются (рис. 3.9). Найдем соотношение между углами a₁ и a₂. Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то согласно (3.22) и (3.24) E_2t = E_lt, e₂Е_2n = e₁Е_1n. Из рис 3.9 следует, что

Отсюда с учетом предыдущих условий получаем закон пре­ломления линий Е, а значит, и линий D:

Это означает, что в диэлектрике с большим значением e ли­нии Е и D будут составлять больший угол с нормалью к грани­це раздела (на рис. 3.9 e₂ > e₁).

Условие на границе проводник — диэлектрик. Если среда 1 — проводник, а среда 2 — диэлектрик (см. рис. 3.8), то из формулы (3.23) следует, что D_n=s (3.26) где n — внешняя по отношению к проводнику нормаль (двойка в индексе здесь опущена, поскольку она не существенна в дан­ном случае). Убедимся в справедливости формулы (3.26). В со­стоянии равновесия электрическое поле внутри проводника E = 0, значит, и поляризованность Р = 0. А это, в свою очередь, означает согласно (3.17), что и вектор D = 0 внутри проводника, т. е. в обозначениях формулы (3.23) D₁ = 0 и D_1n = 0. Остается D_2n = s

Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заря­женному участку поверхности проводника прилегает однород­ный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводни­ком выступают связанные заряды некоторой плотности s' (на­помним, что для однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов r' = 0). Применим теперь теорему Гаусса к вектору Е. Имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды (s и s'), придем к следующему выражению: Е_n= (s + s')/e₀. С другой стороны, согласно (3.26) Е_п = D_п /ee₀ = s/ee₀. Из этих двух урав­нений находим: s/e = s + s', откуда σ’= –σ(ε–1)/ε. (3.27)Видно, что поверхностная плотность s' связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью s стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.