![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нагадаємо, що оберненою до матриці А називається матриця , яка задовольняє співвідношення
, де Е – одинична матриця, обернена матриця може існувати лише для квадратних матриць, але не кожна квадратна матриця має обернену.
Якщо визначник матриці А не дорівнює нулю, ця матриця називається невиродженою, інакше матриця А називається виродженою.
Теорема (необхідна та достатня умова існування оберненої матриці). Обернена до матриці А матриця існує, причому єдина тоді й тільки тоді, коли матриця А є невиродженою. При цьому
=
,
де матриця складається з алгебраїчних доповнень до кожного елементу матриці
і називається приєднаною.
Проілюструємо на прикладах використання останньої формули для знаходження оберненої матриці.
Приклад 7. Обчислити обернену для довільної матриці другого порядку: .
Обернена матриця буде існувати, якщо , тобто
.
Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А:
,
,
,
.
Отже, приєднана матриця . Порівнюючи з початковою матрицею, легко помітити, що для побудови приєднаної для матриці другого порядку потрібно елементи головної діагоналі поміняти місцями, а у елементів побічної діагоналі поміняти знак.
Таким чином, обернена матриця .
Приклад 8. Обчислити обернену до матриці .
Визначник матриці , отже існує єдина обернена матриця.
Алгебраїчні доповнення до елементів матриці А дорівнюють:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Отже, обернена матриця .
Очевидно, кількість обчислень сильно зростає з ростом порядку матриці, зокрема для обчислення оберненої до матриці четвертого порядку необхідно підрахувати 16 алгебраїчних доповнень, які складаються з визначників третього порядку. Тому для знаходження обернених до матриць вищих порядків використовується інший метод – метод елементарних перетворень.
Алгоритм методу елементарних перетворень полягає в наступному: справа від матриці А дописують одиничну матрицю такого ж порядку, шляхом елементарних перетворень над рядками матриці А її намагаються звести до одиничної, ті ж перетворення в тому самому порядку здійснюються над відповідними рядками одиничної матриці. Як тільки матриця А перетвориться на одиничну, на місці одиничної матриці буде знаходитись обернена матриця .
При використанні методу елементарних перетворень не потрібно обчислювати визначник матриці А, тому з’ясувати, чи існує обернена до неї можна лише під час реалізації методу, а саме: якщо на певному кроці перетворень у матриці А виникне нульовий рядок, то вона є виродженою і оберненої не має. Інакше обернена існує, причому єдина.
Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 2572 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!