Обернена матриця

Нагадаємо, що оберненою до матриці А називається матриця , яка задовольняє співвідношення , де Е – одинична матриця, обернена матриця може існувати лише для квадратних матриць, але не кожна квадратна матриця має обернену.

Якщо визначник матриці А не дорівнює нулю, ця матриця називається невиродженою, інакше матриця А називається виродженою.

Теорема (необхідна та достатня умова існування оберненої матриці). Обернена до матриці А матриця існує, причому єдина тоді й тільки тоді, коли матриця А є невиродженою. При цьому

= ,

де матриця складається з алгебраїчних доповнень до кожного елементу матриці і називається приєднаною.

Проілюструємо на прикладах використання останньої формули для знаходження оберненої матриці.

Приклад 7. Обчислити обернену для довільної матриці другого порядку: .

Обернена матриця буде існувати, якщо , тобто .

Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А:

, ,

, .

Отже, приєднана матриця . Порівнюючи з початковою матрицею, легко помітити, що для побудови приєднаної для матриці другого порядку потрібно елементи головної діагоналі поміняти місцями, а у елементів побічної діагоналі поміняти знак.

Таким чином, обернена матриця .

Приклад 8. Обчислити обернену до матриці .

Визначник матриці , отже існує єдина обернена матриця.

Алгебраїчні доповнення до елементів матриці А дорівнюють:

, , ,

, , ,

, , .

Отже, обернена матриця .

Очевидно, кількість обчислень сильно зростає з ростом порядку матриці, зокрема для обчислення оберненої до матриці четвертого порядку необхідно підрахувати 16 алгебраїчних доповнень, які складаються з визначників третього порядку. Тому для знаходження обернених до матриць вищих порядків використовується інший метод – метод елементарних перетворень.

Алгоритм методу елементарних перетворень полягає в наступному: справа від матриці А дописують одиничну матрицю такого ж порядку, шляхом елементарних перетворень над рядками матриці А її намагаються звести до одиничної, ті ж перетворення в тому самому порядку здійснюються над відповідними рядками одиничної матриці. Як тільки матриця А перетвориться на одиничну, на місці одиничної матриці буде знаходитись обернена матриця .

При використанні методу елементарних перетворень не потрібно обчислювати визначник матриці А, тому з’ясувати, чи існує обернена до неї можна лише під час реалізації методу, а саме: якщо на певному кроці перетворень у матриці А виникне нульовий рядок, то вона є виродженою і оберненої не має. Інакше обернена існує, причому єдина.