Визначники квадратних матриць

Визначник є числовою характеристикою квадратної матриці, яка використовується при розв’язанні систем лінійних рівнянь, знаходженні обернених матриць тощо. Визначник квадратної матриці А позначається або det A.

Визначником матриці першого порядку називається елемент .

Визначником матриці другого порядку називається число, яке розраховується за формулою .

Визначником матриці третього порядку називається число, яке обчислюється за формулою

.

Рис. 1.

За допомогою схеми можна запам’ятати формулу обчислення визначника третього порядку: визначник складається із шести доданків, кожен доданок формули являє собою добуток трьох елементів матриці, вибраних по одному з кожного рядка та кожного стовпчика та позначених на схемі однаковим кольором. Зі знаком «+» беруться три добутки, отримані з лівого малюнку, зі знаком «–» - отримані з правого малюнку. Таке правило обчислення визначників третього порядку називається правилом трикутників.

Приклад 4. Обчислити визначник: .

= =

=66.

Наведені вище означення визначників є частинними випадками означення визначника n -го порядку. Перед тим, як навести це означення, введемо наступні поняття.

Перестановкою з n елементів називається впорядкований набір перших n натуральних чисел. Кількість перестановок з n елементів дорівнює .

Два елементи перестановки утворюють інверсію, якщо більший елемент розташований в перестановці перед меншим.

Перестановка називається парною, якщо містить парну кількість інверсій, та непарною, якщо містить непарну кількість інверсій.

Визначником квадратної матриці А називається число, що дорівнює сумі всіх можливих добутків елементів матриці А, взятих по одному з кожного її рядка та кожного стовпчика, причому доданок береться із знаком “плюс”, якщо перестановка других індексів елементів, що входять в цей добуток, парна, та із знаком “мінус”, якщо ця перестановка непарна, за умови, що перші індекси цих елементів впорядковані за зростанням. Очевидно, кількість доданків при обчисленні визначника n -го порядку дорівнює n!

Із зростанням розмірності визначника кількість доданків сильно збільшується, тому на практиці при обчисленні визначників вищих порядків загальне означення не використовується. Основним методом обчислення таких визначників є метод пониження порядку.