Обчислення окремих власних значень

Якщо потрібно обчислити лише деякі з власних значень (наприклад, або ), то найпростіше використати степеневий метод для формування послідовності векторів

(11)

Нехай матриця А має n лінійно незалежних векторів і максимальне за величиною власне значення таке, що .

Якщо розкласти деякий ненульовий вектор за базисом власних векторів матриці

,

Оскільки для , напрям вектора прямує до напряму власного вектора , якщо тільки .

Для підвищення стійкості обчислень проводять масштабування послідовності векторів , яке найпростіше здійснити, якщо перейти до послідовності нормуванням векторів за значенням їх найбільших елементів , тобто замість виразу (11) використовувати співвідношення:

, , (12)

при цьому

(13)

і похибка обчислення найбільшого власного значення прямує до нуля як .

Якщо степеневий метод застосувати до оберненої матриці , то аналогічно можна оцінити величину мінімального власного значення , якщо виконується умова . При цьому мінімальне власне значення матриці А обчислюється за формулою

, де – максимальне за модулем власне значення матриці .

Приклад 6. Знайти наближене значення максимального і мінімального за модулем власних значень матриці

.

На лістингу 8 наведено результати обчислень степеневим методом після першої, другої та двадцятої ітерації. Для обчислення максимальної компоненти власного вектора складена функція користувача .

На лістингу 6 наведено програму, яка обчислює найбільше або найменше за модулем власні значення степеневим методом із заданою точністю.