Метод Крилова

Метод Крилова

Крім методу Фадєєва-Левер’є знаходження коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці досить поширеним є метод Крилова, який базується на відомій теоремі Келі-Гамільтона, яка стверджує, що будь-яка матриця А задовольняє своє характеристичне рівняння

. (7)

Якщо рівняння (7) помножити на довільний вектор , то можна отримати такий запис:

, (8)

де вектори обчислюються за формулами:

(9)

або у компонентній формі

. (10)

На основі рівняння (8) формуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці:

. (11)

Якщо система (11) виявиться виродженою, то необхідно замінити початковий вектор , який для зручності зазвичай обирають як .

Приклад 3. Користуючись методом Крилова, побудувати характеристичне рівняння матриці

.

Вибираючи початковий вектор , знаходимо необхідні вектори (9) і будуємо та розв’язуємо систему рівнянь (11). Результати обчислень, одержані за допомогою програми Mathcad, наведено на лістингу 3.

Якщо початковий вектор вибрати у вигляді , то одержимо вироджену систему (див. лістинг 4)

Зауваження. Визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння матриці належить до так званих погано обумовлених задач, тому потрібна дуже висока точність обчислення цих коефіцієнтів. Тому розглянуті вище методи Фадєєва-Левер’є та Крилова використовуються, як правило, лише для матриць А невеликої розмірності n, тому що зі зростанням n коефіцієнти характеристичного рівняння збільшуються дуже швидко, що ускладнює обчислення коренів цього рівняння.

У зв’язку з цим у практичних розрахунках методи обчислення власних значень матриць, в яких використовується характеристичне рівняння, майже витіснені ітераційними методами. Один із таких методів (найбільш ефективний) описаний нижче.