Спектр колебания при угловой модуляции

Пусть задано колебание

a (t) = A ₀ cos [(ω₀ t + φ (t)], (2.25)

о котором известно, что передаваемое сообщение s (t) заложено в функцию φ (t). Если колебание a (t) получено с помощью ФМ, то φ (t) и s (t) полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При этом, очевидно, с точностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры функций φ (t) и s (t).

При ЧМ функция φ (t) является интегралом от передаваемого сообщения s (t). Это вытекает из выражений (2.19) и (2.20). Так как интегрирование является линейным преобразованием, то при ЧМ спектр функции φ (t) coстоит из тех же компонентов, что и спектр сообщения s (t), но с измененными амплитудами и фазами.

Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции — фазовой или частотной — и считая заданным спектр функции φ (t), находим спектр модулированного колебания a (t). Для этого выражение (2.25) преобразуем к виду

a (t) = A ₀ cos φ (t) cos ω₀ t — A ₀ sin φ (t) sin ω₀ t = a_c (t) — a_s (t). (2.26)

Из (2.26) следует, что модулированное по углу колебание можно рас-

сматривать как сумму двух квадратурных колебаний: косинусного a_c (t) = A ₀ cos φ (t) cos ω₀ t и синусного a_s (t) = A ₀ sin φ (t) sin ω₀ t, каждое из которых модулировано только по амплитуде; закон AM для косинусного колебания определяется медленной функцией cos φ (t), а синусного — функцией sin φ (t). Но в § 3.3 было установлено, что для определения спектра амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту ω₀ спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для нахождения спектра колебания a (t), определяемого выражением (2.26), необходимо сначала найти спектры функций cos φ (t) и sin φ (t), т. е. спектры огибающих квадратурных колебаний. Перенос этих спектров на частоту ω₀ можно затем осуществить таким же образом, как и при обычной AM.

Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем спектр модулированного по амплитуде. Действительно, так как cos φ(t) и sin φ(t) являются нелинейными функциями своего аргумента φ(t), то спектры этих функций могут существенно отличаться от спектра функции φ(t); возможно возникновение кратных и комбинационных частот, как это имеет место при обычных нелинейных преобразованиях спектра.

Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных слагаемых показывают, что при угловой модуляции спектр модулированного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на величину несущей частоты ω₀, как это имеет место при AM. При угловой модуляции связь между спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается более сложной.