Угловая модуляция

Для простого гармонического колебания

a (t) = A ₀ cos (ω₀ t + φ₀) = A ₀ cos ψ (t),

набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t—t ₁ до t—t ₂ равен

ψ (t ₂) — ψ (t ₁) = (ω₀ t ₂+ φ₀) – (ω₀ t ₁+ φ₀) = ω₀(t ₂ – t ₁) (2.15)

Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за какой-либо промежуток времени пропорционален длительности этого промежутка. С другой стороны, если известно, что набег фазы за время t ₂ – t ₁ равен ψ (t ₂) — ψ (t ₁) то угловую частоту можно определить как отношение

ω₀ = [ψ (t ₂) — ψ (t ₁)]/(t ₂ – t ₁) (2.16)

если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматриваемого промежутка времени частота сохраняла постоянное значение.

Из (2.16) видно, что угловая частота есть не что иное, как скорость

изменения фазы колебания.

Переходя к сложному колебанию, частота которого может изменяться во времени, равенства (2.15), (2.16) необходимо заменить интегральным и дифференциальным соотношениями

ψ (t ₂) — ψ (t ₁) = ω(t) d (t) (2.17)

ω(t) = d ψ(t) / d (t) (2.18)

В этих выражениях ω(t) = 2л f (t) — мгновенная угловая частота колебания; f (t) — мгновенная частота.

Согласно выражениям (2.17), (2.18) полную фазу высокочастотного колебания в момент t можно определить как

ψ (t) = ω(t) d (t) + φ₀, (2.19)

где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за время от начала отсчета до рассматриваемого момента t; φ₀ — начальная фаза колебания (в момент t = 0). При таком подходе фазу ψ (t) = ω₀ t + φ (t), фигурирующую в выражении (2.1), следует заменить на ψ (t) = ω₀ t + φ (t) + φ₀. Итак, общее выражение для высокочастотного колебания, амплитуда которого постоянна, т. е. A (t) = A ₀, а аргумент ψ (t) модулирован, можно представить в форме

a (t) = A ₀ cos [(ω₀ t + φ (t) + φ₀] (2.20)

Соотношения (2.18), (2.19), устанавливающие связь между изменениями частоты и фазы, указывают на общность двух разновидностей угловой модуляции — частотной и фазовой.

2.4.1. ЧМК

Поясним соотношения (2.18)—(2.20) на примере простейшей гармонической ЧМ, когда мгновенная частота колебания определяется выражением

ω(t) = ω₀ + ω_дcos Ω t, (2.21)

где ω_д = 2πf _д представляет собой амплитуду частотного отклонения. Для краткости ω_д в дальнейшем будем называть девиацией частоты или просто девиацией. Через ω₀ и Ω, как и при AM, обозначены несущая и модулирующая частоты.

Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока или напряжения), частота которого изменяется по закону (2.21), а амплитуда постоянна.

Подставляя в C.19) со (/) из уравнения C.21), получаем

ψ (t) = (ω₀ + ω_дcos Ω t) d (t) + φ₀,

Выполнив интегрирование, найдем

ψ (t) = ω₀ t + (ω_д / Ω) sin Ω t + φ₀, (2.22)

Таким образом,

a (t) = A ₀ cos [ω₀ t + (ω_д / Ω) sin Ω t + φ₀] (2.23)

Фаза колебания, a (t) наряду с линейно-возрастающим слагаемым ω₀ t содержит еще периодическое слагаемое (ω_д / Ω) sin Ω t. Это позволяет

рассматривать a (t) как колебание, модулированное по фазе. Закон этой модуляции является интегральным по отношению к закону изменения частоты. Именно модуляция частоты по закону ω_д cos Ω t приводит к модуляции фазы по закону (ω_д / Ω) sin Ω t. Амплитуду изменения фазы

φ_max = ω_д / Ω = m (2.24)

часто называют индексом угловой модуляции.

Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от средней (немодулированной) частоты ω₀, а определяется исключительно девиацией ω_д и модулирующей частотой Ω.

2.4.2. ФМК

Рассмотрим теперь противоположный случай, когда стабильное по частоте и фазе колебание пропускается через устройство, осуществляющее периодическую модуляцию фазы по закону φ (t) = φ_max sin Ω t, так что колебание на выходе устройства имеет вид

a (t) = A ₀ cos (ω₀ t + φ_max sin Ω t + φ₀).

Какова частота этого колебания? Используя выражение (2.18), находим

ω(t) = d ψ(t) / d (t) = (ω₀ t + φ_max sin Ω t + φ₀) = ω₀ + φ_max Ω cos Ω t.

Учитывая соотношение (2.24), приходим к выводу, что φ_max Ω = ω_д .

Таким образом, гармоническая модуляция фазы с индексом φ_max эквивалентна частотной модуляции с девиацией ω_д = φ_max Ω.

Из приведенного примера видно, что при гармонической угловой модуляции по характеру колебания нельзя заключить, с какой модуляцией мы имеем дело — с частотной или фазовой.

Иное положение при негармоническом модулирующем сигнале. В этом случае вид модуляции — частотной или фазовой — можно установить непосредственно по характеру изменения частоты и фазы во времени.

Покажем это на примере пилообразного модулирующего сигнала s (t) (рис. 2.12, а и г). Очевидно, что пилообразное изменение ω(t) (рис. 3.13, б), по форме совпадающее с s (t), свидетельствует о наличии ЧМ, а такое же изменение φ (t) (рис. 2.12, д) — о наличии ФМ. Ясно также, что скачкообразное изменение ω(t), совпадающее по форме с производной сигнала s (t) (рис. 2.12, е), указывает на ФМ.

При гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции. При ЧМ девиация ω_д пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции Ω. При ФМ величина φ_max пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции Ω.

Рис. 2.12. Сравнение функций ω(t) и φ (t) при ЧМ и ФМ при пилообразном модулирующем сигнале

Кроме структуры колебания (при модуляции сложным сигналом) частотная и фазовая модуляции различаются и способом осуществления. При ЧМ обычно применяется прямое воздействие на частоту колебаний генератора. При ФМ генератор дает стабильную частоту, а фаза колебания модулируется в одном из последующих элементов устройства.