Циркуляция вектора. Ротор вектора. Теорема Стокса

Преобразование интеграла вектора по замкнутой поверхности в интеграл по объему привело нас к понятию дивергенции вектора. Рассмотрим теперь интеграл вектора по замкнутой кривой.

Пусть в поле вектора а (R) задана некоторая кривая L и вместе с тем задано, какое из двух возможных направлений движения вдоль этой кривой считается положительным. Разбиваем кривую L на бесконечно малые элементы d l, направление которых совпадает с направлением положительного движения вдоль линии, и умножаем каждый элемент d l скалярно на значение вектора а в соответствующей точке поля. Предел суммы этих произведений a d l = a_ldl при dl 0, распространенный на все элементы кривой, называется линейным интегралом вектора а вдоль кривой L:

Если кривая L замкнута, что отмечается кружком у знака интеграла, то линейный интеграл вектора а вдоль нее называется циркуляцией а вдоль L:

C(a)= (1.15)

Предположим, что контур L представляет собой контур плоского прямоугольника ABCD, и выберем оси x и y декартовых координат так, чтобы они были параллельны сторонам этого прямоугольника и пересекались в его центре (рис. 1.6). Пусть стороны прямоугольника равны соответственно и . Если выбрать направление положительного обхода контура так, чтобы соответствующая положительная нормаль к площади прямоугольника была направлена по оси z (рис. 1.6), то

Воспользовавшись известной из интегрального исчисления теоремой о среднем значении, получим (при n || оси z):

где и т. д. средние значения слагающих а_х и а_у на первой, второй и т. д. сторонах прямоугольника; отрицательный знак, например, последнего члена суммы объясняется тем, что интегрирование по стороне AD производится в направлении убывания координаты у.

Будем теперь стремить длину сторон прямоугольника к нулю. Тогда с точностью до величин второго порядка малости среднее значение слагающей а_у на отрезке ВС, отстоящем от отрезка АD на расстоянии : по направлению оси х, будет отличаться от значения а_у на отрезке AD на величину :

Рис. 1.6. Контур плоского прямоугольника

Соответственно

ибо CD отстоит от АВ на расстоянии у по направлению оси у. При этом в пределе при бесконечно малых размерах прямоугольника мы можем понимать под и значения этих величин в центре О прямоугольника. Внося эти выражения в предшествующее равенство, получим (при n || оси z):

где мы заменили C через dC, чтобы отметить, что это соотношение справедливо лишь для бесконечно малого прямоугольника. Обозначая, наконец, площадь прямоугольника через dS, получим окончательно:

при n ||оси z (1.16)

Так как оси х, у, z образуют правовинтовую систему, то, совершив круговую перестановку индексов х, у, z, мы получим, очевидно, циркуляцию вектора а по контуру бесконечно малого прямоугольника, положительная нормаль к которому направлена по оси х или по оси у:

при n ||оси x (1.17)

при n ||оси y (1.18)

Фигурирующие в формулах (1.16), (1.17) и (1.18) комбинации производных слагающих вектора а являются, как мы покажем, компонентами некоторого вектора, который принято обозначать через rot а:

(1.19)

Вектор rot a может быть назван пространственной производной вектора a в отличие от его скалярной пространственной производной div a.

С помощью обозначений (1.19) и выражения (1.16-1.18) могут быть записаны следующим образом:

, (1.20)

причем под n нужно понимать положительную нормаль к площадке dS, составляющую правовинтовую систему с направлением положительного обхода контура этой площадки. Полагая, последовательно n параллельным осям х, у и z, получим из уравнений (1.20) и (1.19) уравнения (1.16-1.18).

Так как оси координат всегда можно выбрать так, чтобы одна из этих осей была перпендикулярна к площадке dS, то уравнение (1.20) остается, очевидно, справедливым для циркуляции вектора а по контуру произвольно расположенного бесконечно малого прямоугольника.

Перейдем теперь к рассмотрению циркуляции вектора по контуру произвольной формы и размера. Проведем поверхность S так, чтобы она опиралась на контур L, т. е. чтобы этот контур являлся пограничным контуром поверхности S. Разобьем затем эту поверхность двумя взаимно перпендикулярными системами параллельных линий на совокупность бесконечно малых элементов (рис. 1.7), которые благодаря своей малости могут считаться плоскими. Применив к каждому из этих элементов уравнение (1.20) и сложив полученные выражения, найдем:

Рис. 1.7. Разделение поверхности на совокупность бесконечно малых элементов.

где n есть внешняя нормаль к dS, причем внешняя сторона поверхности S должна быть выбрана в соответствии с направлением положительного обхода ее контура (правовинтовая система ). При интегрировании по контурам элементарных площадок каждая граница АВ двух смежных площадок пройдется два раза и притом в противоположных направлениях; поэтому в сумме встретятся оба члена и , в совокупности дающие нуль.

Таким образом, сведется к сумме членов, относящихся к одним лишь наружным границам площадок, т. е. к интегралу вектора а по внешнему контуру L площади S, откуда

где С означает циркуляцию вектора а по контуру L. Внося это выражение в предшествующее уравнение, получим:

(1.21)

При выводе этой формулы мы не приняли во внимание, что наружные (прилегающие к контуру L) элементарные площадки, вообще говоря, не будут иметь прямоугольной формы, тогда как справедливость уравнения (1.20) доказана нами лишь для площадок прямоугольных. Однако при неограниченном уменьшении размера прямоугольников ломаная линия, составленная из наружных сторон крайних прямоугольников, сколько угодно точно совпадает с контуром L площади S. Основываясь на этом, можно придать выводу уравнения (1.21) совершенно точную форму.

Таким образом, единственное условие справедливости уравнения (1.21) состоит в требовании непрерывности и дифференцируемости вектора а во всех точках поверхности S.

Уравнение это выражает собой так называемую теорему Стокса, которая гласит: циркуляция произвольного вектора а по замкнутой кривой L, равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, опирающуюся на кривую L.

Форма поверхности S при этом остается совершенно неопределенной. Стало быть, через любые две поверхности S ₁ и S ₂, если только они обладают одним и тем же контуром L, проходит одинаковый поток ротора любого непрерывного вектора а, равный циркуляции этого вектора по общему контуру этих поверхностей.

Из уравнения (1.21), между прочим, сразу следует, что

(1.22)

так как в случае замкнутой поверхности S контур L стягивается в точку и С = 0.

Переходя от уравнения (1.21) обратно к столь малому элементу поверхности dS, что его можно считать плоской площадкой, во всех точках которой rot а сохраняет постоянное значение, мы сможем вынести rot а за знак интеграла и написать:

что совпадает с уравнением (1.20). Поскольку уравнение (1.21) применимо к поверхности любой формы, постольку и формула (1.20) также применима к бесконечно малым площадкам любой формы. Так как эта формула справедлива лишь в предельном случае бесконечно малой поверхности, то правильнее записать ее следующим образом:

(1.23)

Таким образом, слагающая вектора rot а в данной точке поля Р по данному направлению n равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру произвольной площадки dS, проходящей через Р и перпендикулярной к n, к величине поверхности этой площадки dS.

Отсюда явствует, что значение слагающей rot а вовсе не зависит от выбора системы координат, т, е. что rot а действительно является истинным вектором. Таким образом, инвариантность вектора rot а может считаться доказанной.

В сущности это утверждение не вполне справедливо, ибо, во-первых, мы при выводе уравнений (1.20) и (1.21) уже воспользовались тем самым свойством инвариантности вектора rot а относительно преобразования координат, которое мы хотим доказать: именно на эту инвариантность rot а мы ссылались, утверждая, что уравнение (1.20) применимо к площадке произвольного направления; во-вторых, мы опустили строгое доказательство применимости формулы (1.21) к контуру произвольной формы. Справедливость этих положений может быть доказана путем не посредственного вычисления в декартовых координатах циркуляции вектора по контуру произвольной поверхности. Проще, и правильнее, однако, считать инвариантное относительно преобразования координат соотношение (1.23) определением понятия «ротор вектора а». Исходя из этого определения, нетрудно, обратив порядок наших рассуждений, доказать все выведенные выше формулы.