Векторная алгебра

Алгебра векторных величин имеет некоторые особенности в сравнении со скалярными величинами. Рассмотрим эти особенности для алгебры векторов, заданных в декартовой пространственной системе координат, которая представляет собой ортогональную тройку векторов. Ортогональной тройкой назовем совокупность трех взаимно перпендикулярных единичных векторов i, j, k, проведенных из общего начала вдоль x, y, z.

Произведение произвольных векторов a и b можно осуществить двумя различными способами, сформировав из них скалярное и векторное умножение. Вектора a и b относительно декартовой системы координат записываются в виде

a = a_x i + a_y j +a_z k,

b = b_x i + b_y j + b_z k.

Скалярное произведение векторов a и b дает в результате скалярную величину, равную

(ab) = (ba) = ab cos (a, b) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.

Векторное произведение [ ab ] векторов является вектором, перпендикулярным к a и b и по абсолютной величине равным площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

|[ ab ]| = ab sin (ab),

[ ab ] = = (a_yb_z –a_zb_y) i + (a_zb_x – a_xb_z} j + (a_xb_y + a_yb_x) k

[ ab ] = - [ ba ]

Направление вектора [ ab ] определяется из требования, чтобы векторы a, b и [ ab ] образовывали правовинтовую систему.

Смешанное, или векторно-скалярное, произведение трех векторов a, b и c является скаляром и численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

a [ bc ] = b [ ca ] = c [ ab ] =

Если векторы являются функциями некоторой скалярной переменной t, то при соблюдении обычных условий можно дифференцировать векторы по этой переменной. При этом имеют место соотношения