Положение главных площадок определяется направляющими косинусами нормалей к главным площадкам.
Для отыскания направляющих косинусов нормали к i-той главной площадке (i=1,2,3) используем систему уравнений (5) и (6), подставив в нее s=si.
Тогда направляющие косинусы принимают значение li, mi, ni.
Из трех уравнений (5) выберем любые два. Делим эти уравнения на ni и вводим обозначения

Формула 9
Получаем

Формула 10
отсюда

Тогда из (6) и (9):
При si=s1=37,579 МПа
Проверка:
l2+m2+n2=1
(-0,323)*(-0,323)+(-0,912)*(-0,912)+0,254*0,254=1
Равенство выполнено.
При si=s2=-65,337 МПа
Проверка:
l2+m2+n2=1
(-0,916)*(-0,916)+0,369*0,369+0,159*0,159=1
Равенство выполнено
При si=s3=-72,242 МПа
Проверка:
l2+m2+n2=1
0,238*0,238+0,181*0,181+0,954*0,954=1
Равенство выполнено.
Сведем найденные значения в таблицу 1.
I
|
|
|
|
li
| -0,323
| -0,916
| 0,238
|
mi
| -0,912
| 0,369
| 0,181
|
ni
| 0,254
| 0,159
| 0,954
|
Таблица 1
Сделаем следующие 3 проверки, подтверждающие взаимную ортогональность главных площадок:
l1*l2+m1*m2+n1*n2=0
(-0,323)*(-0,916)+(-0,912)* 0,369+0,254*0,159=0
l1*l3+m1*m3+n1*n3=0
(-0,323)*0,238+(-0,912)* 0,181+0,254*0,954=0
l2*l3+m2*m3+n2*n3=0
(-0,916)* 0,238+0,369*0,181+0,159*0,954=0
Можно сделать вывод, что взаимная ортогональность нормалей к главным площадкам этими проверками подтверждается.
Чтобы изобразить графически положение в пространстве параллелепипеда, гранями которого являются главные площадки, надо произвести следующее построение.

Рис. 2 – Графическое построение главных площадок.
В осях x, y, z по заданным направляющим косинусам (табл. 1) строим нормали к главным площадкам, взяв за исходную точку начало координат. Для построения i-той нормали достаточно вдоль осей x, y, z отложить в некотором масштабе отрезки, равные направляющим косинусам Ii, mi, ni и точку с такими координатами соединить с центром О (рис. 2). Его грани и будут главными площадками с напряжениями s1, s2, s3.