Теория аберраций 3-го порядка

Рассмотрим ход луча в произвольной оптической системе.

Положение косого луча B₁ N₁ в пространстве предметов определяется следующими координатами: расстоянием от плоскости предмета до плоскости входного зрачка t –S₁, величиной предмета у и координатами точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка m₁ - в меридиональной плоскости и M₁ - сагиттальной. Точка B’_k - идеальное изображение точки B₁. Реальный луч, вследствие аберраций, пересечется с плоскостью параксиального изображения в точке `B’<sub>k</sub>. Расстояние между точками B’<sub>k</sub> и `B’_k – это поперечная аберрация луча. Разложим ее по осям координат, получим D`у’ и D`x’. Координатой точки `B’<sub>k</sub> в меридиональной плоскости будет `у’= y’ + D`у’, а в сагиттальной - D`x’. При заданном положении плоскостей предмета и входного зрачка (S₁ = cons, t = cons) D`у’, D`x’ являются функциями координат падающего луча и конструктивных элементов оптической системы.

Если система известна, то D`у’= F<sub>1</sub> (y, m<sub>1</sub>, M<sub>1</sub> ); D`x’= F₂ (y, m₁, M₁ ).

Эти функции можно разложить в ряд по степеням y, m₁, M₁ .

Мы рассматриваем оптическую систему симметричную относительно оптической оси, поэтому при одновременной перемене знака у величин y, m₁, M₁ координаты, y’ и x’ должны в силу симметрии относительно оптической оси изменить знаки без изменения абсолютной величины. Это возможно только в том случае, если в разложениях функций F₁ и F₂ сумма показателей степеней к при y, m₁, M₁ равна нечетному числу, т.е.

D`у’= Dy'_III + Dy'_V + Dy'_VII + …

D`x’= Dx’_III + Dx’_V + Dx'_VII + …

Кроме того, если в разложении функции F₁ изменить знак у M₁, то вследствие симметрии значение координаты y’ не должно измениться, а значит в это разложение функции не могут входить члены с нечетными степенями M₁, а сагиттальная составляющая при перемене знака у M₁ должна изменить знак, сохраняя абсолютную величину, поэтому разложение функции F₂ не может содержать членов с четными степенями M₁.

Формулы параксиальной оптики были получены в предположении, что углы настолько малы, что их синусами можно пренебречь, а косинусы заменить единицей. Это соответствует сумме показателей к =1. Если рассматриваемая нами плоскость совпадает с Гауссовой плоскостью, то аберрации равны нулю.

При к =3 c учетом приведенных выше соображений можно записать:

Dy'_III = m₁ (m₁ ² +M₁ ² )A₁ +(3m₁ ² +M₁ ² )yA₂ +m₁ y² A₃ +y³ A₅ ,

Dx’_III = M₁ (m₁ ² +M₁ ² )A₁ +2m₁ M₁ yA₂ +M₁ y² A₄ ,

где A_i зависят от постоянных оптической системы, положения предмета и положения входного зрачка.

Теория аберраций 3-го порядка была впервые разработана Зейделем, поэтому область, в которой она может применяться называется областью Зейделя. Разность между аберрациями, вычисленными по точным формулам и по формулам теории 3-х порядков, называется аберрациями высших порядков. Коэффициенты A_i выражаются в параметрах первого и второго нулевых лучей. Первый нулевой луч выходит из осевой точки предмета и проходит какую-нибудь точку входного зрачка. Он характеризуется параметрами a и h, где a - величина угла, h- высота луча на 1-ой поверхности. Второй нулевой луч проходит через центр входного зрачка, характеризуется параметрами b и H, где b - величина угла, H- высота на 1-ой поверхности. В параметрах нулевых лучей выражения для составляющих Dy'_III и Dx’_III аберраций 3-го порядка имеют вид:

S_i - коэффициенты аберраций 3-го порядка или суммы Зейделя,

I =n₁ ya₁ = n’_k y’a’_k - инвариант Лагранжа-Геймгольца.

Коэффициенты аберраций 3-го порядка для сферической поверхности имеют следующий вид:

Суммы Зейделя являются функциями P, W и P, эти величины определяются только конструктивными параметрами оптической системы a_i, n_i и называются параметрами системы. При записи формул использовано следующее условное обозначение, которым мы будем пользоваться и при записи выражений для параметров системы:

d(a/n)_n =a’_n /n’_n - a_n /n_n

где m=1/ n.

Для упрощения расчетов и для того, чтобы иметь возможность сравнивать различные типы оптических систем, коэффициенты вычисляют при одних и тех же начальных условиях. Выбор исходных данных для 1-го и 2-го нулевых лучей называется нормировкой.

Для предмета на конечном расстоянии используют следующие условия нормировки:

a’_k =1; b₁ =1; a₁ =b; h₁ =b*S₁ ; I=b*(t₁ –S₁ ); H₁ =t₁ = y.

С учетом условий нормировки для системы в воздухе выражения для аберраций 3-го порядка будут иметь вид:

Для предмета, находящегося на бесконечности (a₁ =0), принимаются следующие условия нормировки:

a’_k =1; b₁ =1; h₁ =1; I= -1; H₁ =t₁ .

В эти условия нормировки включено также условие масштаба – фокусное расстояние оптической системы принято за единицу.

Для этого случая с учетом условий нормировки для системы в воздухе выражения для аберраций 3-го порядка будут иметь вид:

Параметры P, W и P, определенные для предмета на бесконечности, называются основными параметрами системы.

Лекция 14

Каждая сумма Зейделя определяет определенный вид аберраций. S₁ - характеризует сферическую аберрацию третьего порядка, S_II – кому, S_III - астигматизм, S_IY - кривизну, S_Y – дисторсию.

Сферическая аберрация третьего порядка

Меридиональная кома третьего порядка

Хроматизм положения оптической системы, состоящей из к тонких линз в параметрах первого нулевого луча основной длины волны равен:

С_n - хроматический параметр; Dn=n_l1 - n_l2 ,

Сумма, входящая в формулу, обозначается S _Iхр и называется “1-я хроматическая сумма”:

С учетом условий нормировки для оптической системы в воздухе:

dS_хр’=S _1хр’.

Для устранения хроматизма положения необходимо выполнение условия ахроматизации: S _1хр’=0.

Если выразить db/b через координаты 1-го и 2-го нулевых лучей для системы, состоящей из к поверхностей, находящейся в однородной среде, имеем:

Обозначим входящую в выражение сумму S_11хр – 2-я хроматическая сумма.

Если устранен хроматизм положения, то хроматизм увеличения не зависит от положения входного зрачка. Для одновременного устранения хроматизма положения и хроматизма увеличения необходимо, чтобы обе хроматические суммы равнялись нулю.

Аберрации высших порядков

В 5-ом порядке, кроме известных уже нам аберраций, появляются две новых, не имеющих аналогов в аберрациях 3-го порядка.

1- птера или крыловидная аберрация, фигура рассеяния представляет собой семейство крылоподобных кривых;

2- сагита или стреловидная аберрация.

В 7-ом порядке появляюся еще две новых аберрации:

1- моноптера -однополостная кривая с острием в точка В¢_к ;

2- бисагитта- отрезок, средняя точка которого совпадает с В¢_к .

В более высоких порядках новых аберраций не появляется. Таким образом имеется 9 видов различных аберраций.