![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема (о пределе сложной функции). Пусть функция , определенная в проколотой окрестности
точки
, имеет предел
при
:
. (1)
И пусть функция определена в некоторой окрестности точки
, содержащей
, и непрерывна в точке
.
Тогда сложная функция определена в
и существует предел
. (2)
(Другими словами, ).
Доказательство. 4Фиксируем произвольное . Из непрерывности функции
в точке
следует
, (3)
а из существования предела (1), что
. (4)
Объединяя (3) и (4), получим
.
Существование предела (3) доказано. 3
Следствие. Пусть функция непрерывна в точке
, а функция
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
будет непрерывной в точке
.
Условия непрерывности внешней функции в точке существенно.
Пример. Пусть , а
Тогда и
, в то время как
и
.
Первый замечательный предел
Теорема (о первом замечательном пределе). Справедлива формула
.
Доказательство. 4Мы будем использовать школьное определение как ординаты точки
при повороте (с центром в начале координат) на угол
радиан. Так как нас интересует случай
, то можно считать, что
, а поскольку функция
четная, то достаточно рассмотреть углы из первой четверти:
.
![]() |
Из геометрических соображений ясно, что
,
то есть
или
.
Так как
,
то по теореме о предельном переходе в двух неравенствах получим
.3
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 2618 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!