![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Свойства предела функции
Из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне многие важные свойства предела функции, очевидно, немедленно следуют из соответствующих свойств предела последовательности: единственность предела, арифметические свойства предела, предельный переход в неравенствах.
Сформулируем и приведем для примера доказательства некоторых теорем с использованием определений предела по Коши или по Гейне.
1. Функция имеет конечный предел
при
тогда и только тогда, когда
, где
- бесконечно малая при
.
2. Теорема (о единственности предела). Если и
, то
.
3. Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел). Пусть функция имеет конечный предел
при
. Тогда
будет ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки
.
4. а) Теорема. Пусть и
- бесконечно малые функции при
, тогда их сумма
также будет бесконечно малой при
.
б) Теорема. Пусть - бесконечно малая функция при
, а функция
ограничена в
. Тогда произведение
есть бесконечно малая при
.
в) Теорема. Пусть и
- бесконечно малые функции при
, тогда их произведение
также будет бесконечно малой при
.
5. Теорема (о пределе суммы). Пусть
. Тогда существует предел
.
6. Теорема (о пределе произведения). Пусть
. Тогда существует предел
.
7. Теорема (о пределе частного). Пусть
, причем
. Тогда существует предел частного
.
8. Теорема. Пусть функции определены в некоторой проколотой окрестности точки
-
, и пусть в этой окрестности выполнено неравенство
, а также существуют и равны пределы
и
. Тогда
.
9. Теорема. Пусть функции определены в некоторой проколотой окрестности точки
-
, и пусть в этой окрестности выполнено неравенство
, а также существуют и равны пределы
. Тогда существует предел
.
10. Теорема. Пусть - бесконечно малая функция при
, причем
в некоторой проколотой окрестности точки
-
, тогда функция
будет бесконечно большой при
.
11. Теорема. Если - бесконечно большая функция при
, причем
в некоторой проколотой окрестности точки
-
, то функция
является бесконечно малой при
.
Утверждение пункта 1 следует непосредственно из определения.
Доказательство утверждения пункта 2 (с использованием определения предела по Гейне). 4 Из условий теоремы следует, что для любой последовательности такой, что
и
будет справедливо
или
. Но так как у сходящейся последовательности
не может быть двух разных пределов, то
.3
Доказательство утверждения пункта 3 (с использованием определения предела по Коши). 4Возьмем и выберем окрестность
, в которой выполняется неравенство
. Тогда для
будет справедливо
,
что означает ограниченность функции в .3
Обратное утверждение, как и в случае последовательностей, неверно. Примером может послужить функция при
.
Доказательство утверждения пункта 4а (с использованием определения предела по Коши).
Доказательство. Возьмем произвольное
. Существует некоторая окрестность
, в которой верно неравенство
, а в некоторой окрестности
будет верно
. Тогда для всех
из пересечения этих окрестностей (в окрестности
с радиусом
) будет выполнено
.
Упражнение. Докажите утверждения пунктов 4б и 4в.
Доказательство утверждения пункта 7. (с использованием определения прела по Коши).
Лемма. Пусть существует , причем
. Тогда функция
ограничена в некоторой проколотой окрестности точки
.
Доказательство. ►Возьмем и найдем окрестность
, в которой
. Для всех
будет справедлива оценка
,
,
а значит, для всех значений из этой окрестности
, что означает ограниченность функции
.◄
Доказательство теоремы. Из условия теоремы вытекает, что
, а
, где
и
- бесконечно малые функции при
. Поэтому
,
где - бесконечно малая при
. То есть
или
.
Упражнение. Докажите утверждения пунктов 5 и 6.
Доказательство утверждения пункта 9 (с использованием определения предела по Гейне). 4Из условий теоремы следует, что для любой последовательности такой, что
и
будет справедливо
, а также, что с некоторого номера
(когда члены последовательности
попадут в
) будет выполняться неравенство
. Применим теорему о предельном переходе в двух неравенствах к последовательностям
. Получим существование предела
для любой последовательности
, сходящейся к
(
). Следовательно, для функции
в
выполнены все условия существования предела по Гейне. 3
Упражнение. Докажите утверждение пункта 8.
Доказательство утверждения пункта 10 (с использованием определения предела по Гейне). Так как
- бесконечно малая функция при
, то для любой последовательности
такой, что
и
будет справедливо
, то есть последовательность
- бесконечно малая. Но тогда последовательность
будет бесконечно большой, а значит
.
Упражнение. Докажите утверждение пункта 11.
Что касается свойств непрерывных функций, то ограниченность непрерывной функции в окрестности точки, непрерывность линейной комбинации, произведения и частного (при условии отличия от нуля знаменателя в точке) двух непрерывных функций являются тривиальными следствиями соответствующих свойств предела функции.
Для примера докажем утверждение о непрерывности суммы непрерывных функций.
Утверждение. Пусть функции и
непрерывны в точке
. Тогда их сумма
также будет непрерывной в точке
.
Доказательство. Имеем
и
. Тогда
.
Докажем вариант теоремы о предельном переходе в неравенстве для непрерывных функций.
Теорема (о сохранении знака непрерывной функцией). Пусть функция непрерывна в точке
и пусть
. Тогда
сохраняет знак в некоторой окрестности точки
.
Доказательство. 4Предположим для определенности, что . Положим
. Из непрерывности функции
в
следует, что существует окрестность
, в которой выполнено неравенство
. Тогда для
будет верно
.3
Упражнение. Пользуясь теоремами об арифметических действиях с пределами функций сформулируйте и докажите теорему о непрерывности линейной комбинации непрерывных функций, теоремы о непрерывности произведения и частного.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 916 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!