Принятие рисковых решений

на основе теории игр»

Цель работы – формирование навыков принятия решений в условиях неопределенности на основе применения методов теории игр.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ:

Теория игр входит в комплекс игровых методов исследования операций, которые предназначены для обоснования решений в условиях неопределенности. Она позволяет сформировать наилучшую в данных условиях обстановки стратегию, следование которой обеспечивает максимально возможный ожидаемый результат.

Игра в терминах данной теории – мероприятия, состоящие из ряда действий сторон. Если в конфликте участвуют две стороны, игра называется парной, если более двух – множественной.

Правила игры – система условий, регламентирующая возможные варианты действий сторон, доступная информация о поведении сторон, а также результат, к которому приводит данная совокупность действий. Игра состоит из ряда последовательных ходов, рассматриваемых как выбор одного из предусмотренных правилами игры действий.

Стратегия – совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе в соответствии с текущими условиями.

Результат игры – выигрыш или проигрыш одной из сторон, выраженный в количественной форме. Оптимальная стратегия при многократном повторении игры обеспечивает данной стороне максимально возможный ожидаемый результат.

Игра с нулевой суммой – игра, в которой выигрыш одной стороны равен прогрышу.

Парная игра – игра, в которой принимает участие 2 стороны.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР

(1) Имеется целенаправленная деятельность, в которой участвуют две стороны А и В с противоположными интересами;

(2) Заданы правила игры, определяющие результаты следования возможным вариантам действий сторон;

(3) Результаты действий сторон (выигрыши) выражены в количественной форме и обозначены а_ij (математическое ожидание выигрыша стороны А, сделавшей свой i‑й ход npи j-м ходе стороны В).

(4) Условия игры оформляются в виде платежной матрицы, или матрицы игры.

Общий вид платежной матрицы

Стратегии стороны А	Стратегии стороны В
B1	B2	…	Bn	αi
A1	a11	a12	…	a1n	α1
A2	a21	a22	…	a2n	α2
…	…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn	αm
βj	β1	β2		βn

Необходимо найти наилучшие (оптимальные) стратегии сторон, а также ожидаемый средний выигрыш (результат).

Методика нахождения решения:

(1) Нахождение максимина, или нижней цены игры:

α = MAX {α_i}; = MAX MIN {а_ij}

(2) Нахождение минимакса, или верхней цены игры:

β = MIN {β_i}; = MIN MAX {а_ij} –

(3.1.) Если α = β, игра имеет седловую точку – элемент матрицы, являющийся одновременно минимальным в сво­ей строке и максимальным в своем столбце, α = β = v – чистая цена игры. Седловой точке определяет оптимальные стратегии сторон (стратегии Аi и Вj), которые называется решением игры в чистых стратегиях.

(3.2.) Если α ≠ β, решение находится в смешанных стратегиях, которые называются действия, получаемые путем случайного чередования чистых стратегий.

Смешанная стратегия стороны А обозначается как S*А(p₁; p₂; …; р_m), где
{p₁; p₂; …; р_m} – вероятности, с которыми применяются стратегии А₁; А₂; А_m.

Аналогично для стороны В смешанная стратегия S*B(q₁; q₂; …; q_n).

Если имеет место неопределенность в отношении возможности реализации состояний среды (природы), т.е. невозможно даже приблизительно указать вероятности наступления каждого возможного исхода, то для принятия решений можно воспользоваться следующими критериями:

1. Maximax или «критерий крайнего оптимизма» - этот критерий определяет альтернативу, которая максимизирует максимальный результат каждой альтернативы.

2. Maximin (критерий Вальда) или «критерий крайнего пессимизма» -критерий определяет альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы.

3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа – выбирает альтернативу с минимальным риском в наихудших условиях.

4. Критерий Гурвица или «критерий оптимизма-пессимизма» - рекомендует при выборе альтернативы не руководствоваться ни крайним оптимизмом, ни крайним пессимизмом (учитывает степень пессимистической и оптимистической настроенности в реализации альтернатив).

5. «Критерий безразличия» - выявляет альтернативу с максимальным средним результатом.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

ЗАДАНИЕ 1

Найти наилучшие стратегии по критериям: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,2), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,4) для следующей платежной матрицы игры с природой (элементы матрицы - выигрыши):

ЗАДАНИЕ 2

Вариант № 1

Две конкурирующие крупные торговые фирмы Ф1 и Ф2, планируют построить в одном из четырех небольших городов Г1, Г2, Г3 и Г4, лежащих вдоль автомагистрали, по одному универсаму. Взаимное расположение городов, расстояние между ними и численность населения показаны на следующей схеме:

Распределение оборота, получаемого каждой фирмой, определяется численностью населения городов, а также степенью удаленности универсамов от места жительства потенциальных покупателей. Специально проведенное исследование показало, что торговый оборот в универсамах будет распределяться между фирмами так, как это показано в следующей таблице:

Условия	Распределение оборота между фирмами
Ф1	Ф2
Универсам фирмы Ф1 расположен к городу ближе универсама фирмы Ф2	75%	25%
Универсамы обеих фирм расположены на одинаковом расстоянии от города	60%	40%
Универсам фирмы Ф1 расположен от города дальше универсама фирмы Ф2	45%	55%

Например, если универсам фирмы Ф1 расположен к городу Г1 ближе универсама фирмы Ф2, то оборот фирм от покупок, сделанных жителями данного города, распределится следующим образом: 75% получит Ф1, остальное-Ф2.

Вопросы:

1. Представьте описанную ситуацию, как игру двух лиц.

2. В каких городах целесообразно фирмам построить свои универсамы?

Вариант №2

Компания выпускает для российского рынка кондитерские изделия как массового спроса (традиционные шоколадные конфеты) и дорогие эксклюзивные изделия (шоколадные изделия – коллекционные и престижные авторские работы). В условиях обострения конкуренции компании необходимо изменить свою рыночную стратегию. Исследования показали, что использование стратегии снижения цен на 1% обеспечивает прирост объемов реализации конфет на 6%, а шоколадные изделия – на 2%. Рост разнообразия ассортимента на 1% увеличивает объемы реализации конфет на 4%, а шоколадных изделий – на 7%.

Обоснуйте направление новой стратегии компании на российском рынке с помощью тории игр.

Вариант №3

Компания приступает к серийному выпуску новой продукции, в спецификацию которой входят новые комплектующие, изготовляемые внешними поставщиками. Комплектующие условно можно разделить на две группы: универсальные (используемые при производстве других изделий) и специализированные (применяемые только в изготовлении данного продукта). Предварительные расчеты показывают, что за счет увеличения размеров закупочных партий можно добиться снижения себестоимости по универсальным комплектующим на 3%, а по специальным – на 6%. В то же время интеграция с поставщиками обеспечивает снижение себестоимости конечной продукции универсальных комплектующих на 5%, а специальных – на 2%.

Обоснуйте решение в области материально-технического снабжения компании на российском рынке с помощью тории игр.

Вариант № 4

Завод тяжелого машиностроения выпускает продукцию производственно-технического назначения (ППТН) и товары народного потребления. Для обоснования выбора политики были проведены исследования, которые показали, что рост качества продукции обеспечивается ростом доли производственных издержек в выручке от реализации по ППТН на 5%, а по ТНП на 8%. Обновление ассортимента увеличивает долю себестоимости ППТН на 10%, а ТНП – на 6%.

Обоснуйте выбор производственно-технической политики завода с помощью тории игр.

Вариант № 5

Директор лицея, обучение в котором осуществляется на платной основе, решает, следует ли расширять здание лицея на 250 мест, на 50 мест или не проводить строительных работ вообще. Если население небольшого города в котором организован платный лицей, будет расти, то большая реконструкция могла бы принести прибыль 250 тыс.руб. в год, незначительное расширение учебных помещений могло бы приносить 90 тыс.руб. прибыли. Если население города увеличиваться не будет, то крупное расширение обойдется лицею в 120 тыс. руб. убытка, а малое – 45 тыс.руб. Однако информация о том, как будет изменяться население города, отсутствует. Постройте дерево решений и определите лучшую альтернативу, используя критерий Вальда. Чему равно значение ОДО для наилучшей альтернативы в отсутствии необходимой информации?

Пусть при тех же исходных данных государственная статистическая служба предоставила информацию об изменении численности населения: вероятность численности роста населения составляет 0,7; вероятность того, что численность населения остается неизменной или будет уменьшаться, равна 0,3. Определите наилучшее решение, используя критерий максимизации ожидаемой денежной оценки. Чему равно значение ОДО для наилучшей альтернативы при получении дополнительной информации? Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?

Лабораторная работа № 5