Словарь-справочник. Аналитическая геометрия– математическая теория, в которой на основе метода координат объекты евклидовой геометрии описываются алгебраическими уравнениями

КИНЕМАТИКА – раздел механики, изучающий геометрические параметры движений тел без учёта масс этих тел и сил, которые на них действуют. Законы К. являются феноменологическими по отношению к законам динамики и кинетики.

КИНЕТИКА – понятие, которое в своей исторической исходной форме отражает основную часть механики, изучающую единство динамики (движений массивных тех под действием сил и моментов сил) и статики (равновесия тел под действием сил и моментов сил).

ЛИНЕЙНОСТЬ – основная идея детерминизма механики Галилея–Ньютона и широкого класса физических теорий, включая нерелятивистскую квантовую теорию. Линейная версия детерминизма исходит из прямой пропорциональности следствия порождающей его причине. В классической механике такое понимание прямо вытекает из второго закона Ньютона, ставящего параметр движения тела в прямую пропорциональную зависимость от детерминирующего силового параметра. Математическим языком линейных теорий служат линейные дифференциальные уравнения. В линейных теориях важную роль играет принцип суперпозиции, говорящий о том, что определённые комбинации причин приводят к однотипным комбинациям следствий. Общеизвестным из школьной физики примером может служить правило параллелограмма для сил, воздействующих на массивное тело, которое остаётся тем же и для его скоростей.

ОБРАТИМОСТЬ – понятие, отражающее сильное допущение, положенное в основу ряда ключевых физических теорий – динамики Галилея–Ньютона, электродинамики Фарадея–Максвелла, частной теории относительности, нерелятивистской квантовой теории, отчасти – релятивистской квантовой теории (квантовой электродинамики и др.) О. изучаемых этими теориями процессов означает, что они из своего определённого состояния протекают одинаково как вперёд во времени (из настоящего в будущее), так и назад (из настоящего в прошлое).

СОСТОЯНИЕ – минимальный набор параметров, который чётко определяет изменения исследуемого объекта в исчезающе малый момент времени. В классической механике С. исследуемого объекта в случае поступательного движения определяется его пространственными координатами и импульсом, в случае вращательного движения – угловой координатой и моментом импульса. В классической термодинамике С. объектов характеризуется парами независимых переменных (например, «температура – объём», «энтропи́я – давление»), связываемых в дифференциальном уравнении с соответствующими термодинамическими потенциалами (с внутренней энергией, со свободной энергией и др.). В квантовой теории С. определяется наборами квантовых чисел. Соответствующие научные законы позволяют связать в дифференциальном уравнении ближайшие С. инвариантной причинно-следствен-ной зависимостью. Вводя в такие математические конструкции взятые из опыта условия однозначности, в результате интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений получают теоретическое описание исследуемых объектов, адекватно отражающее их поведение в пространстве и времени.

СТАТИКА – раздел механики, изучающий условия равновесия материальных макроскопических тел под действием сил.

ТРАЕКТОРИЯ – одно из основных понятий механики Галилея–Нью-тона. Совершенно иначе обстоит дело с точками и траекториями на фазовых портретах динамических систем, хотя в этом случае абстрактно-математический объект является существенно менее громоздкой умственной конструкцией и существенно ближе к реальным физическим параметрам исследуемых объектов. Подобный смысл понятия Т. не имеет ничего общего со смыслом Т. как линии движения объекта в физическом пространстве.

УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ – берущиеся из опыта численные значения параметров объекта, динамика которого теоретически исследуется с помощью дифференциальных уравнений. Без этой «зацепки за опыт» дифференциальное уравнение в теоретической физике суть не более чем математически выраженный научный закон, отражающий неопределённое многообразие потенциально возможных конкретных форм своего проявления. У. о. превращают дифференциальное уравнение в математический инструмент точного количественного расчёта поведения конкретных объектов исследования в пространстве и времени. В литературе У. о. часто называют также начальными условиями. Тем не менее, математики говорят именно об У. о. При этом под начальными условиями понимаются численные значения параметров в конкретный момент времени. Для численного значения пространственных параметров (например, для значений температуры остывающего тела на его геометрических границах) используется понятие граничных условий.

Один из классиков теоретической физики ХХ в. и её проницательных методологов – Е. Вигнер – отмечал, что в эпоху формирования классической механики Галилея–Ньютона с её динамическим описанием проблема теоретического описания объективного мира в его реальной сложности была решена путём сильнейшего упрощения, которое тогда было единственно возможным и единственно продуктивным. Собственно теоретическая, логико-дедуктивная часть точных количественных теорий группировалась вокруг научных законов, которые могут быть удостоверены с высочайшей точностью. Именно в этой части научных теорий классической физики господствует жёсткий (однозначный) детерминизм. Что же касается аспекта сложности изучаемых процессов, их точной предсказуемости, то этот аспект «выносится за скобки» концептуального строя научных теорий – во внешний материальный мир. В научую теорию этот аспект изучаемых процессов входит эпизодически – именно в роли У. о. Последние берутся не из теории, а из опыта, из самого́ внешнего материального мира. Иначе говоря, научные теории такого исторически исходного типа считались со всей сложностью реального физического мира, но как с чем-то внешним по отношению к своему концептуальному строю, как с чем-то эпизодически берущимся не из теорий, а из экспериментов (хотя тоже высокоточных).

Эта принципиально важная сторона дела та же самая и в случае простых задач из школьной физики, в которых законы движения выражены в форме не дифференциальных, а простеших алгебраических уравнений.

Обратимся к одной из простейших задач такого рода, которой соответствует ситуация на рисунке со стр. 89. С самолёта, кото-рый летит над горной местностью на постоянной высоте с постоянной скоростью V, сбрасывается массивный предмет, который достигает земной поверхности в режиме свободного падения. При этом самолёт не совершает никаких боковых манёвров, так что все события происходят в плоскости X–Y. Для маскимальной простоты примем также, что в свободном падении сброшенный предмет даже не томозится сопртивлением воздуха, так что в направлении оси Х его скорость остаётся постоянной, равной V. Как и в большинстве задач на баллистические движения, «конечным продуктом» данной задачи должно быть уравнение траектории, которую свободно падающий предмет описывает в плоскости X–Y.

В отличие от составления и решения дифференциальных уравнений, в данном случае выйти на этот «конечный продукт» очень легко. Для этого достаточно объединить в систему уравнения для путей, проходимых падающим предметом в направлениях ОХ (Х = V.t) и OY (Y = – g.t² / 2). В первом уравнении выражаем t через X/V и подставляем во второе уравнение. В результате сразу же получаем уравнение полупараболы, представленное в правой части рисунка.

Движение свободно падающего предмета по этой полупараболе представляет собой закономерно связанную во времени последовательность состояний, каждое из которых определяется его скоростью и положением в пространстве (в данном простейшем случае – в плоскости полёта X–Y. Но само общее уравнение полупараболы – это, в сущности, уравнение бесконечного множества возможных одинаковых полупарабол в плоскости полёта. Между тем, практику всегда интересуют конкретные варианты (сценарии) баллистических полётов. В частности, в данном простейшем случае практический интерес представляет такой вопрос: в какой момент времени t₀ следует сбросить с самолёта предмет, чтобы в момент времени t₁ он оказался на поверхности земли в точке с координатами X₁ и Y₁? Вводя эти конкретные, из опыта взятые координаты предмета в уравнение его движения, мы определяем его состояние в момент приземления в данной точке: X₁, V, Y₁, – g/t₁. Теперь по уравнению полупараболы можно не только определить момент сбрасывания t₀, но и проследить всю последовательность состояний предмета от момента сбрасывания до момента касания земли в выбранной конкретной точке. Эта последовательность состояний во времени жёстко (однозначно) определена галилеевским законом свободного падения как одной из частных форм закона всемирного тяготения.

Эта суть динамического описания в духе жёсткого (однозначного) детерминизма та же самая, что и в случае дифференциальных уравнений. Последние требуются для теоретического описания таких движений, при которых постоянно меняются силовые факторы, в частности, силовые условия сбрасывания предмета с летящего самолёта. Например, если самолёт при этом набирает высоту да ещё по сложной кривой. Скажем, по винтовой. Здесь уже задача перестаёт быть плоской и становится трёхмерной. Теоретическое описание радикально усложняется, но решение соответствующих дифференциальных уравнений даст, опять-таки, бесконечное множество однотипных параболических траекторий. Для то-чного расчёта конкретной практической задачи на бросание предмета, опять-таки, придётся водить в решение взятые из опыта конкретные значения координат и скоростей предмета в момент его приземления в нужной конкретной точке.

Приведенный рисунок наглядно представляет и то, на что обращал внимание Е. Вигнер: реальная сложность условий приземления предмета на горную местность «выносится за скобки» теоретического описания в духе жёсткого (однозначного) детерминизма; она учитывается сугубо эпизодически.

По мере разработки теории динамических систем в ХХ в. эта роль У. о. в физических теориях существенно менялась. К настоящему времени, особенно – в теории динамической устойчивости и в теории динамического хаоса, многообразие У. о. оказалось в центре внимания теоретической физики, отодвинув на задние планы точные решения самих дифференциальных уравнений. Это направление исследований реальной сложности объективного мира дополнилось направлением, на котором во всеоружии современной вычислительной техники методами вычислительных экспериментов систематически изучается неисчерпаемое многообразие множеств Жюлиа, феноменологически обобщённое во множестве Мандельброта. Таким образом, на переднем крае современного развития теоретическая физика окончательно отошла от своего «первородного» и сильно ущербного подхода к реальной сложности объективного мира. Она нацелилась на понимание этой сложности в концептуальном строе своих теорий, на уровне математической доказательности. Эта цель пока остаётся не столько в области реальных теоретических описаний качественно нового типа и качественно новой эффективности, сколько в области методологических идеалов. Но продвижение к ней началось и это продвижение весьма интенсивное.

Т Е М А 3