Векторний добуток векторів. Мішаний добуток

Задаємо у просторі додатню орієнтацію. Будемо вважати, що трійка векторів орієнтована за правилом правої руки, тобто з кінця третього вектора найменший оберт від першого до другого видно проти годинникової стрілки (рис.4.7),

Рис.4.7. Рис.4.8.

Означення. Векторним добутком двох векторів та називають вектор , що задовольняє наступним умовам:

1. Модуль вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах ,(рис.4.8)

,

де

2. Вектор напрямлений перпендикулярно до площини цього паралелограма, тобто

і .

3. Впорядкована трійка векторів () задає додатню орієнтацію простору.

Властивості векторного добутку:

1. При зміні порядку співмножників векторний добуток змінює свій знак на протилежний, модуль при цьому не змінюється.

.

Дійсно при перестановці векторів та площа паралелограма, побудованого на векторах, не змінюється, однак орієнтація векторів і буде лівою.

2. Векторний квадрат дорівнює нуль – вектору, тобто

(за визначенням).

3. Скалярний множник можна виносити за знак векторного добутку, тобто якщо скаляр, то

.

4. Для будь-яких трьох векторів справедлива рівність

(розподільна властивість).

Розглянемо координатну форму векторного добутку. Нехай

Якщо помножити векторно , одержимо таку рівність

Останню рівність можна записати у вигляді визначника третього порядку

Знайдемо довжину вектора :

.

Приклад. Знайти площу трикутника з вершинами , і .

Площа трикутника дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і . і , звідси

= .

Отже,

.

Означення. Мішаним добутком (або векторно-скалярним добутком) векторів , , називається число

.

Побудуємо паралелепіпед (рис. 4.9), ребрами якого є вектори , , , що приведені до загальної вершини . Нехай вектор , тобто він перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори і (напрям ). Нагадаємо, що – площа паралелограма, побудованого на векторах і , тобто площа основи паралелепіпеда. Висота цього паралелепіпеда H

.

Знак плюс відповідає гострому куту , знак мінус – тупому куту . У першому випадку вектори утворюють праву трійку, а у другому – ліву трійку.

Рис. 4.9

На основі визначення скалярного добутку маємо:

,

де – об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , , . Звідси

,

тобто мішаний добуток трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, який береться із знаком плюс, якщо ці вектори утворюють праву трійку, та з знаком мінус, якщо вони утворюють ліву трійку.

Зазначимо основні властивості мішаного добутку:

1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці цого співмножників, тобто

.

Дійсно у цьому випадку не змінюється об’єм паралелепіпеда та орієнтація його ребер.

2. При перестановці двох сусідніх співмножників мішаний добуток змінює свій знак на протилежний:

,

тобто при перестановці співмножників права трійка переходить у ліву, а ліва у праву. За допомогою мішаного добутку одержимо необхідну та достанню умову компланарності трьох векторів :

(об’єм паралелепіпеда дорівнює нулю).

Якщо

то, використовуючи вирази у координатах для векторного та скалярного добутків, одержимо:

.

Запитання для самодіагностики

1.Що таке прямокутна система координат?

2. Чим визначається положення точки в прямокутній системі координат?

3. Як обчислюється відстань між точками в прямокутній системі координат?

4. Записати формули для знаходження координат точки, що ділить відрізок в заданому відношенні.

5. Що називається скалярним добутком двох векторів?

6. Які властивості скалярного добутку вам відомі?

7. Чому дорівнює скалярний добуток векторів, що задані координатами?

8. Як обчислюється кут між векторами?

9. Умови паралельності і перпендикулярності векторів.

10. Що називається векторним добутком двох векторів?

11 Основні властивості векторного добутку.

12. Як виражається векторний добуток, коли вектори задані координатами?

13 Як обчислюється площа паралелограма, побудованого на двох векторах?

14. Що називається мішаним добутком трьох векторів?

15. Як виражається векторний добуток, коли вектори задані координатами?

16. Як обчислюється об’єм паралелепіпеда?

17. В чому полягає умова компланарності трьох векторів?

18. Як обчислюється площа трикутника, якщо відомі координати його вершин?