Скалярний добуток векторів та його властивості

Визначення. Скалярним добутком двох векторів та називається число, яке дорівнює добутку довжин даних векторів та косинусу кута між ними, тобто

, де .

На основі першої властивості проекції можна записати

.

Скалярний добуток має такі властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , ( скаляри).

З визначення скалярного добутку можна знайти косинус кута між двома ненульовими векторами

.

Скалярний добуток векторів можна записати у координатній формі. Нехай вектори задані так:

.

Знайдемо добуток цих векторів як многочленів (із властивостей скалярного добутку):

.

Для косинуса кута між векторами одержимо:

.

Умова колінеарност і двох векторів

,

у координатах , або

.

Таким чином, вектори колінеарні тільки у тому випадку, коли їх відповідні координати пропорційні.

Для перпендикулярних векторів і /2) їх скалярний добуток дорівнює нулю.

.