Определители 3-го порядка

Рассмотрим таблицу из 9-ти элементов:

(2)

Определителем 3-го порядка, соответствующий таблице (2), называется число, равное:

а₁₁∙а₂₂∙а₃₃ + а₂₁∙а₂₃∙а₃₁ + а₂₁∙а₃₂∙а₁₃ - а₁₃∙а₂₂∙а₃₁ - а₁₁∙а₃₂∙а₂₃ - а₂₁∙а₁₂∙а₃₃

Этот определитель обозначается символом:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Саррюса):

+

- первое действие

- второе действие

Свойства определителей:

1) Равноправность строк и столбцов: определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот

2)При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.

3)Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен 0

4)Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен 0

5) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6)Элементарные преобразования определителя.

Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Пример: доказать что

Доказательство:

0 (cв-ва 4 и 3)

Минором некоторого элемента а_ij определителя n-ого порядка называется определитель n-1 –ого порядка, полученный из исходного, путем вычеркивания i – строки, j – столбца

Обозначается М_ij

Алгебраическим дополнением элемента А_ij определителя называется его минор (М_ij), взятый со знаком «+», если сумма i+j – четное число, «-» если i+j – нечетное число.

А = (-1)^i+j∙M_ij

7)Разложение определителя по элементам некоторого ряда.

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения:

= а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃

=а₁₁(а₂₂а₃₃ – а₂₃а₃₂) – а₁₂(а₂₁а₃₃ – а₃₁а₂₃) + а₁₃(а₂₁а₃₂ – а₃₁а₂₂) = а₁₁а₂₂а₃₃ – а₁₁а₂₃а₃₂ – а₁₂а₂₁а₃₃ +

+ а₁₂а₃₁а₂₃ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₃₁а₂₂

8) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна 0.

= а₁₂А₁₁+а₂₂А₁₂+а₂₃А₁₃ = 0

Матрица.

Основные понятия.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m – строк одинаковой длинны, и n – столбцов одинаковой длины.

А_ij = (a_ij)

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

(А)=(В)

а_ij=b_ij

Матрицы, размером m×n называют матрицей n –ого порядка.

Квадратной матрицей, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку называется вектор-столбцом или вектор-строкой соответственно.

- вектор – столбец

Матрица, полученная из данной матрицы, заменой каждой ее строки столбцом, с тем же номером, называется транспонированной и обозначается А^т

Пример:

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (А^Т)^Т=А