Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности .Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. В учебной группе 25 курсантов: 5 курсантов – отличников; 20 курсантов – хорошисты. Какова вероятность, что наугад выбранный курсант является отличником?

Решение: Событие А={выбранный курсант–отличник}. Общее число случаев , число случаев, благоприятных событию . Тогда .

Ответ: 0,2

2. На квадратном столе со стороной 60 см выделен черный квадрат со стороной 20 см. Определите вероятность того, что фишка попадет в черный квадрат, если ее наугад бросить на стол?

Решение: найдем площадь исследуемой части – черного квадрата , найдем площадь всей поверхности , тогда вероятность попадания фишки в черный квадрат равна .

Ответ:

3. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события:

А ={появление герба на первой монете}; В ={появление цифры на первой монете}; C ={появление герба на второй монете}; D ={появление цифры на второй монете}; E ={появление хотя бы одного герба}; F ={появление хотя бы одной цифры}; G ={появление одного герба и одной цифры}; Н ={непоявление ни одного герба}.

Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: A + C, EF, G + E, GE.

Решение: В данном случае событие А + С заключается в появлении герба на первой монете (событие А) или появлении герба на второй монете (событие В), т.е. при двух бросаниях должен появиться хотя бы один герб. Это равносильно событию Е.

Событие EF - это появление хотя бы одного герба (событие E) и одновременное появление хотя бы одной цифры (событие F). Таким образом, при двух бросаниях монеты должен 1 раз появиться герб и 1 раз цифра. Это равносильно событию G.

Событие G + E заключается в появлении одного герба и одной цифры (событие G) или в появлении хотя бы одного герба (событие E). При этом событие E является частью события G. Значит, сумма этих событий равносильна меньшему событию E.

Событие GE – это одновременное появление одного герба и одной цифры (событие G) и появление хотя бы одного герба (событие E). Так как мы заключили, что событие E является частью события G, то произведение этих событий равносильно общему событию G.

4. В учебной группе 25 курсантов: 5 курсантов – отличников; 10 курсантов – хорошисты; 10 курсантов имеют удовлетворительные оценки. Какова вероятность, что наугад вызванный курсант является отличником или хорошистом?

Решение: Пусть событие V ={ вызванный курсант является отличником или хорошистом}. Тогда если А ={курсант–отличник}, а В ={курсант–хорошист}, тогда . По теореме сложения вероятностей, так как события несовместны, то

.

Вероятность , а .

Значит, .

Ответ: 0,6.

5. В финальных соревнованиях в прыжках в высоту 2 спортсмена готовятся к взятию предельной высоты. Вероятность успешного прыжка 1-го спортсмена – 0,8, а у 2-го – 0,9. Какова вероятность того, что оба спортсмена возьмут предельную высоту?

Решение: А ={1-й спортсмен возьмет высоту}, а В ={2-й спортсмен возьмет высоту}. Так как события А и В независимы, то

Ответ: 0,72.

Задания для аудиторной работы

1. Бросают наугад два игральных кубика. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:

А ={на кубиках выпало одинаковое число очков}; В ={сумма очков на кубиках не превосходит 12}; С ={сумма очков на кубиках равна 11}; D ={произведение очков на кубиках равно 11}.

2. При стрельбе по мишени из 100 раз попадание произошло в 98 случаях. Является ли это событие достоверным?

3. Подсчитано, что частота получения неудовлетворительной оценки на экзамене по курсу «Информатика и математика» равна 0,08. Известно, что среди студентов 2-го курсе 12 человек не сдали экзамен.

а). найдите примерное число студентов 2-го курса, сдававших экзамен;

б). найдите примерное число студентов, сдавших экзамен успешно.

4. Подсчитано, что частота появления «зайца» в электротранспорте составляет 0,1. Кондуктор трамвая продал за день 400 билетов. Подсчитайте примерное количество «зайцев», проехавших за день в этом трамвае.

5. Из ящика, в котором находится 10 белых и 12 черных шаров, достали наугад один шар. Он оказался белым, его отложили в сторону. Затем достали еще один шар. Найдите вероятность того, что он также белый.

6. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Из них 15 имеют выигрыш по 50 000 рублей, 25 – по 10 000 рублей, 60 – по 5 000 рублей. Найдите вероятность того, что выигрыш купленного билета будет не менее 10 000 рублей.

7. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

8. В фирме работают 8 человек одинаковой квалификации, среди них Иванов, Петров, Сидоров. Случайно выбранным трем из них (из восьми) поручают три различных вида работ (первому выбранному–работу 1-го вида, второму выбранному – работу 2-го вида, третьему– работу 3-го вида). Какова вероятность того, что работа 1-го вида будет поручена Иванову, 2-го вида – Петрову, 3-го – Сидорову?

9. Монета наугад бросается в квадрат со стороной 80 см. Сторона квадрата равна 40 см, сторона черного квадрата 20 см. Найдите вероятность того, что монета попадет в черный квадрат; в квадрат , в заштрихованную область.

10. Внутрь круга радиуса 1м брошена точка. Найдите вероятность того, что точка попадет внутрь квадрата, вписанного в круг.

11. Назвать противоположные события для следующих:

А ={выпадение двух гербов при бросании двух монет}; В ={появление белого шара, при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых, 3 черных и 4 красных шара}; C ={три попадания при трех выстрелах}.

12. В ящике содержится 10 белых и 12 черных шаров. Из ящика вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми (черными, разных цветов).

13. В ящике содержится 8 белых и 14 черных шаров. Из ящика вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из ящика берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутые шара будут белыми (черными).

14. В ящике содержится 20 белых и 16 черных шаров. Из ящика в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в нем шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар (черный).

15. Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу 2 карты. Найти вероятность того, что все они будут одной масти.

16. В ящике имеется 20 шаров, помеченных номерами 1, 2, …, 20. Из ящика 3 раза вынимается по одному шару, номер шара записывается и шар кладется обратно в ящик. Найти вероятность того, что записанные номера будут различные.

17.Имеется партия из 25 холодильников, из которых 4 дефектных. Для контроля из партии выбирается 2 холодильника. Партия прошла контроль, если из выбранных холодильников не более одного дефектного. Найти вероятность того, что партия прошла контроль.