Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины

Математическое ожидание М (Х) и дисперсия D (X) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х – сумма всех произведений её возможных значений на их вероятности:

. (7.1)

Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание – среднее арифметическое значений.

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

. (7.2)

Дисперсию можно вычислять по формуле: разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

. (7.3)

Пример 1. В качестве случайной величины Х возьмем число очков, выпавших на одной игральной кости. Вероятность выпадения каждой грани одинаковы и равны . Поэтому

.

xi
xi – М (Х)	– 2,5	– 1,5	– 0,5	0,5	1,5	3,5
Вероятность

У дисперсии есть недостаток: дисперсия измеряется не в тех единицах, что сама случайная величина, а в квадратных. Но не для всех единиц измерения существуют квадратные (сантиметр – квадратный сантиметр, метр – квадратные метр; килограмм –?, минута –?). По этой причине вместо дисперсии часто используется мера рассеивания, которая называется средним квадратичным или стандартным отклонением* (и равна арифметическому квадратному корню из дисперсии.

. (7.4)

В рассмотренном примере с бросанием кости .