Смешанные стратегии в математической игре

В теории игр страте́гия игрока в игре или деловой ситуации — это полный план действий при всевозможных ситуациях, способных возникнуть. Стратегия определяет действие игрока в любой момент игры и для каждого возможного течения игры, способного привести к каждой ситуации.

Набор стратегий — стратегии для каждого из игроков, которые полностью описывают все действия в игре. Набор стратегий обязан включать одну и только одну стратегию для каждого игрока. Смешанная стратегия — является указанием вероятности каждой чистой стратегии. Это означает, что игрок выбирает одну из чистых стратегий, в соответствии с вероятностями заданными смешанной стратегией. Выбор осуществляется перед началом каждой игры и не меняется до её конца. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, когда вероятность данной чистой стратегии 1 и у всех других нулевая вероятность.

22. Решение игры на основе выбора чистой стратегии. Седловая точка Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Чистая стратегия даёт полную определённость каким образом игрок продолжит игру. В частности, она определяет результат для каждого возможного выбора, который игроку может придётся сделать. Пространством стратегий называют множество всех чистых стратегий доступных данному игроку.

Рассмотрим парную конечную игру.

Пусть игрок А располагает m личными стратегиями: A₁, A₂, …, A_m. Пусть у игрока B имеется n личных стратегий. Обозначим их B₁, B₂, …, B_n. В этом случае игра имеет размерность mxn. В результате выбора игроками любой пары стратегий A_i,B_j ( ) однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш a_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (- a_ij) игрока В.

Предположим, что значения a_ij известны для любой пары стратегий (A_i,B_j).

Матрица А = (a_ij), , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_i и B_j, называется платежной матрицей или матрицей игры.

Общий вид платежной матрицы приведен ниже:

A =

a11 a12... a1n a21 a22... a2n ... am1 am2... amn

.

Платежную матрицу также часто представляют в виде таблицы (см. таблицу 5.1).

Таблица 5.1 - Общий вид платежной матрицы

	B1	B2	...	Bn
A1	a11	a12	...	A1n
A2	a21	a22	...	A2n
...	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	Amn

Строки матрицы А соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго.

Эти стратегии называются чистыми.

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией. Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".

Если же верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены называется чистой ценой игры, или просто ценой игры. Максиминная и минимаксная стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или просто решением игры.

В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш v, а игрок В добивается минимального гарантированного (не зависящего от поведения игрока А) проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е., если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий A_i и B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке.

Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз - в другом).

Таким образом, для игры с седловой точкой нахождение решения заключается в выборе максиминной и минимаксной стратегии, которые и являются оптимальными.

вопрос 23=21