в районі аеродрому

Початкові умови розв’язування задачі аналізу функціонування системи управління повітряним рухом у районі аеродрому:

станом системи в даний момент часу вважаємо кількість суден, що перебувають на обслуговуванні, тобто в зонах очікування, а також на траєкторіях зниження і заходження на посадку;

розглядається стаціонарний (усталений) режим функціонування системи, який можливий тільки при λ<μп, де λ – інтенсивність прильоту повітряних суден; μп – потенційна інтенсивність обслуговування (посадок) суден;

потоки переходів системи з одних станів в інші, що здійснюється з інтенсивностями λ і μп, є найпростішими (пуассонівськими).

Тоді систему управління повітряним рухом у районі аеродрому можна представити як СМО, схема якої показана на рис. 7.5.

Таку розімкнуту схему СМО називають схемою розмноження і загибелі. Ця назва обумовлена тим, що подібною схемою зображається процес розмноження і загибелі живих організмів, хоча при цьому, на відміну від показаного на рис. 7.5, інтенсивності переходів в одному і тому ж напрямі не залишаються постійними, тобто залежать від стану системи.

За умов, що наведені вище, рівняння станів для схеми рис. 7.5 мають наступну форму:

(7.2)

(7.3)

…………………… …

Розв’яжемо останню систему рівнянь, визначивши ймовірності р0, р1, …. Для цього спочатку означимо

і визначимо всі ймовірності станів через ймовірність р0.

З рівняння (7.2) одержимо:

З рівняння (7.3) і врахувавши останню рівність, матимемо:

Продовживши таким же чином визначати ймовірності станів, помітимо, що взагалі , де n – кількість суден на обслуговуванні.

Підставивши ці значення ймовірностей у рівняння нормування, одержимо:

звідки визначимо:

У правій частині останньої рівності у знаменнику маємо суму членів нескінченної спадної геометричної прогресії з першим членом 1 і знаменником γ. Відомо, що така сума дорівнює першому члену прогресії, розділеному на одиницю мінус знаменник прогресії, тому

(7.4)

Знаючи ймовірності одночасного перебування на обслуговуванні будь-якої кількості повітряних суден, визначимо середню кількість суден, які одночасно перебувають на обслуговуванні:

Права частина останньої рівності є сумою членів нескінченної спадної геометричної прогресії, першим членом і знаменником якої є ρ, тому

Середнє значення часу t перебування повітряного судна у районі аеродрому дорівнює середній кількості суден на обслуговуванні, помноженій на час обслуговування одного судна:

З точки зору практичної діяльності важливо знати максимальний можливий час перебування повітряного судна в районі аеродрому, тому що це пов’язане як з безпекою, так і з економічністю польотів. Оскільки ж процес, що розглядається, є імовірнісним, то такий час можна оцінити тільки у імовірнісному аспекті. Для цього треба задати граничну (допустиму) ймовірність р_гран. неперевищення згаданим часом того значення, яке при цьому отримаємо. Тоді на підставі (7.4) запишемо:

звідки визначимо

Граничний (максимальний при заданій його ймовірності р_гран.) час перебування судна у районі аеродрому, тобто час очікування посадки і заходження на посадку

В останній рівності основа, за якою здійснюється логарифмування, не має значення.

Запитання для самоконтролю

1. Наведіть означення СМО, приклади СМО у складі системи обслуговування повітряного руху.

2. Наведіть узагальнену схему СМО.

3. Поясніть, що означають в СМО поняття “прилад обслуговування”, “канал обслуговування”, “подія”.

4. Який потік подій в СМО називають детермінованим? регулярним? випадковим?

5. Поясніть поняття “інтенсивність подій”, “потенційна інтенсивність обслуговування”, “відносна інтенсивність прибуття заявок на обслуговування” в СМО.

6. Поясніть, які різновиди черги на обслуговування можуть бути в СМО, наведіть відповідні приклади.

7. Які СМО називають

одноканальними і багатоканальними?

однофазними і багатофазними?

одиничними і мережами СМО?

відкритими і закритими?

з втратами і без втрат?

Наведіть відповідні приклади.

8. Поясніть, в чому полягає основна відмінність випадкових процесів без післядії і з післядією. Наведіть відповідні приклади.

9. Поясніть властивості стаціонарності і ординарності випадкового потоку подій.

10. Запишіть і поясніть формулу, за якою обчислюється ймовірність того, що протягом проміжку t часу відбудеться n подій, якщо потік подій є пуассонівським (найпростішим).

11. Запишіть і поясніть формулу для визначення ймовірності того, що за інтервал t часу відбудеться не більше n подій, якщо потік подій є пуассонівським.

12. Запишіть і поясніть формулу для обчислення ймовірності того, що протягом інтервалу t часу відбудеться більше n подій, якщо потік подій є пуассонівським.

13. Поясніть, який взаємозв’язок існує між пуассонівським потоком подій і показниковим (експоненційним) законом розподілу ймовірності.

14. Запишіть і поясніть функцію щільності ймовірності для показникового (експоненційного) закону розподілу. Наведіть приклад такого розподілу в системі обслуговування повітряного руху.

15. Наведіть (приблизно) графік функції щільності ймовірності для показникового (експоненційного) закону розподілу. Використавши графік, покажіть, що для такого розподілу чим більше значення інтервалів, тим менше їх ймовірність.

16. Запишіть і поясніть функцію щільності ймовірності для зсуненого показникового (експоненційного) закону розподілу. Наведіть графік такої функції, а також приклад такого розподілу у системі обслуговування повітряного руху.

17. Поясніть, чому в СМО взагалі і в системі управління повітряним рухом зокрема розподіл ймовірності часових інтервалів між подіями відповідає, як правило, показниковому (експоненційному) закону.

18. Поясніть сутність понять “перехідний режим функціонування СМО” і “усталений (стаціонарний) режим функціонування СМО”. За яких умов можливий стаціонарний режим функціонування системи управління повітряним рухом в районі аеродрому?

19. Розглядаючи систему управління повітряним рухом у районі аеродрому як СМО, наведіть і поясніть її схему. Виведіть формулу для обчислення стану “1” такої системи.

20. Запишіть рівняння стану системи управління повітряним рухом в районі аеродрому при її функціонуванні у стаціонарному (усталеному) режимі, на підставі рівнянь виведіть формулу для обчислення ймовірності n-го стану системи.

21. Відома формула для обчислення ймовірності n-го стану системи управління повітряним рухом у районі аеродрому. Виведіть і поясніть формулу для визначення середньої кількості повітряних суден, які одночасно перебувають в районі аеродрому.

22. Відома формула для визначення середньої кількості повітряних суден, які одночасно перебувають в районі аеродрому. Виведіть і поясніть формулу для обчислення середнього значення часу перебування судна в районі аеродрому.

23. Поясніть, як можна оцінити значення максимального часу перебування повітряного судна в районі аеродрому (очікування посадки судном).