Случайные функции. Автокорреляция

Случайной функцией называется функция одного или нескольких аргументов, которая при фиксированных значениях аргументов является случайной величиной.

Термин «случайный процесс» употребляют обычно для функций, случайно меняющихся по временной координате. Для пространственных случайных функций используется термин «случайное поле».

В результате опыта мы можем выявить случайный вид функции на временном или пространственном отрезке конечной длительности. Этот конкретный вид, принимаемый функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если случайная функция наблюдается несколько раз при одних и тех же условиях, то получается ансамбль реализаций этой функции.

В качестве примера случайной функции можно назвать температуру воздуха, которая наблюдается в фиксированной точке на поверхности земли. Результаты наблюдений температуры в течение года — одна из реализаций этой случайной функции, в течение нескольких лет — ансамбль реализаций. Например, мы регистрировали результаты трехлетних наблюдений среднесуточной температуры в течение июля и получили три реализации: X₁(t), X₂(t), X₃(t) (рис. 10).

Рис.10. Семейство реализаций случайной функции

При большом количестве реализаций и неизменности условий (от реализации к реализации) можно рассматривать отдельное сечение случайной функции как случайную величину , обладающую соответствующими характеристиками: плотностью вероятности , математическим ожиданием , дисперсией , среднеквадратическим отклонением .

Для любой пары сечений случайной функции можно вычислить корреляционный момент (автокорреляционную функцию)

и нормированную автокорреляционную функцию (коэффициент корреляции для значений случайной функции при двух фиксированных значениях аргумента)

.

Нетрудно вывести, что .

Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание не зависит от аргумента, а автокорреляционная функция является функцией только разности аргументов . В дальнейшем будем называть такие функции просто стационарными. На рис. 9 мы предполагаем, что для небольшого отрезка времени (июль) можно считать случайную функцию X(t) стационарной с неизменным значением математического ожидания m_x.

Автокорреляционная функция стационарной случайной функции является четной функцией t, т.е.

.

Кроме того,

; .

В силу четности корреляционных функций принято отображать только их положительную ветвь. Типичные автокоррелограммы стационарных случайных процессов показаны на рис. 11.

Рис. 11. Коррелограммы случайных функций:

1 — экспоненциальная форма;

2 — коррелограмма гармонического случайного процесса;

3 — смешанная форма;

4 — белый шум.

Коррелограмма гармонического случайного процесса представляет собой незатухающую косинусоиду. Это свойство используется в локации для выделения гармонического сигнала при малых отношениях сигнал/шум по мощности.

Чаще всего на практике встречаются коррелограммы смешанной формы:

.

В зависимости от соотношения a и b можно получить самые разные формы корреляционных функций, от экспоненты 1 до косинусоиды 2. При расчетах автокорреляционных функций локальной мощности в промышленном ядерном реакторе автор получил кривые вида 3, что свидетельствовало о наличии затухающих ксеноновых колебаний мощности.

Белый шум представляет собой смесь сигналов всех частот от 0 до ¥. Физически белый шум нереализуем (для этого требуется бесконечная мощность источника сигнала), однако в ряде приложений является удобной абстракцией. Белый шум отличает свойство: при t¹ 0.

Для стационарной случайной функции обычно можно указать такое значение , что при величины и можно считать практически некоррелированными в том смысле, что если , то абсолютная величина остается меньше заданной, например:

.

(Гармонический случайный процесс не входит в рассматриваемое множество).

Величину называют интервалом корреляции.

Например, интервал корреляции температуры воздуха по временной координате составляет примерно неделю, по пространственной координате — несколько сотен километров. Поэтому, зная температуру воздуха в фиксированной географической точке в полдень, нетрудно предсказать ее значение через 10 минут (практически та же величина), но нельзя, не имея дополнительной информации, говорить о полуденной температуре в той же точке через 10 дней. Точно так же, на основании прогноза погоды для Москвы можно судить о погоде в Клину, но нельзя прогнозировать погоду в Оренбурге. Здесь следует оговориться, что в примере с пространственной координатой дополнительную неопределенность вносит эффект нестационарности: характеристики поля температур (прежде всего — среднее значение и дисперсия) зависят от того, в какой географической координате производятся измерения.

Понятие стационарности введено для упрощения решения практических задач. Теории нестационарных случайных функций нет, и вряд ли она появится из-за неисчислимого разнообразия нарушений стационарности. В связи с этим на практике приходится полагаться на условную, локальную стационарность и однородность случайных процессов и случайных полей.

При расчетах оценок автокорреляционных функций можно использовать множество реализаций соответствующего случайного процесса (поля), регистрируя пары отсчетов через заданные интервалы t.. Можно также использовать одну или небольшое число реализаций, организуя регулярные измерения по всей длине реализации. В последнем случае следует учитывать, что эквивалентом числа измерений (определяющих точность оценки) в первом приближении является число интервалов корреляции, содержащихся в реализации. Для того чтобы с удовлетворительной точностью рассчитать автокорреляционную функцию некоторого процесса, необходимо иметь реализацию этого процесса длительностью примерно 50 .

Расчеты автокорреляционных функций необходимы при организации процессов контроля, для определения интервалов между соседними (дискретными) измерениями. Автору пришлось в свое время решать задачу расстановки детекторов нейтронного контроля мощности в активной зоне уран-графитовых реакторов. Форма кривой (пространственной) корреляционной функции мощности при этом оказывает существенное влияние на погрешность контроля. Случаются казусы. По рассчитанной сотрудниками одного из отраслевых НИИ автокорреляционной функции на Белоярской АЭС получили дисперсию контроля мощности с отрицательным знаком.

При организации регулярных психофизиологических обследований персонала следует иметь в виду, что психологический тип личности меняется со временем слабо, нет смысла осуществлять ежегодное полномасштабное личностное тестирование (за исключением выявляемых с помощью экспресс-методов ситуаций «срыва»). Гораздо чаще требуется измерение более динамичных физиологических параметров, показателей здоровья, других дополнительных параметров, применяемых при комплексной оценке.