Случайное событие

Случайное событие

Событие, которое при заданном комплексе условий может произойти либо не произойти, называется случайным событием.

Случайность события связана с влиянием не учитываемых факторов (факторов случайности). Вообще говоря, случайность, как правило, является характеристикой сложности. Определимся вначале с ключевой характеристикой случайных событий — вероятностью.

Из большого числа определений вероятности выберем два простейших, достаточных для понимания дальнейшего материала.

1) Комбинаторное (классическое) определение вероятности:

Если опыты могут привести к n различным равновозможным исходам, и если в m случаях проявляется признак А, то вероятность А

.

Такое определение можно подвергнуть критике на том основании, что выражение «равновозможно» на самом деле — «равновероятно», и в определении содержится порочный круг. Тем не менее, в тех случаях, когда можно указать все равновозможные исходы (полную группу событий) и благоприятные исходы, классическое определение удобно.

Примеры: а) Бросание правильного кубика с пронумерованными гранями, вероятность выпадения четного числа в одном опыте

б) Вероятность выдернуть девятку из колоды в 36 карт .

Однако в большинстве практических задач бывает трудно назвать полную группу событий либо этой группы не существует (вероятность встретить бракованную деталь, вероятность рождения мальчика …). В таком случае уместно

2) Статистическое (частотное) определение вероятности:

Пусть имеется комплекс событий А, В, С..., и мы совершаем n опытов при неизменных условиях. Событие А произошло раз. Тогда

(1)

Один из основных законов статистики — закон больших чисел — утверждает, что предел (1) приближается (сходится) к истинному значению вероятности при увеличении числа опытов n.

Нетрудно заключить, что .

Сложение и умножение вероятностей.

Будем использовать следующие символы:

— логическое сложение («или»);

— логическое умножение («и»).

Вероятность наступления события А или события В (формула сложения вероятностей):

(2) .

Если А и В одновременно наступить не могут, то

.

Введем понятие противоположного события: — «не А».

Очевидно,

Приведенные соотношения наглядно представляются диаграммой Венна (рис. 1):

Рис. 1. Диаграмма Венна.

Вероятность одновременного наступления события А и события В (формула умножения вероятностей):

(3) ,

где — вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло;

— вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло.

и носят название условных вероятностей.

Если события А и В независимы, то ; ;

.

Для k совместно независимых событий А₁, А₂, А₃, …, А_k, имеющих одинаковую вероятность p, вероятность одновременного наступления событий

.

Пример 1. Вероятность случайного угадывания кода в автоматической камере хранения

.

Пример 2. Техническое устройство состоит из 100 независимых (по отказам) блоков. Вероятность выхода из строя каждого блока в течение месяца работы равна . При выходе из строя хотя бы одного блока машина выходит из строя. Какова вероятность безотказной работы машины в течение месяца?

Сформулируем условие примера следующим образом: какова вероятность того, что ни1-й, ни 2-й, …, ни 100-й блок не выйдут из строя в течение месяца?

Вероятность невыхода из строя (вероятность надежной работы) одного блока Вероятность надежной работы в течение месяца всех блоков

Проведем серию статистических экспериментов с бросанием монеты. После каждого броска отмечаем желаемое событие (выпадение решки, 1) или неудачу (0), и по аналогии с формулой (1) вычисляем текущее значение вероятности.

(4) .

В формуле (4), в отличие от (1), над знаком вероятности мы поставили «крышечку», которая указывает на то, что это не истинная вероятность, а ее приближенное значение, вычисленное на основании ограниченного числа опытов, — оценка вероятности.

Например, если в результате первых четырех бросков мы получили результат 1 1 0 1, то соответствующий ряд текущих значений оценки вероятности выглядит так: 1 1 0,66 0,75.

На рис. 2 отражены результаты 6 серий экспериментов по 15 опытов.

Рис. 2. Результаты экспериментов с бросанием монеты.

В соответствии с упомянутым ранее законом больших чисел в отдельных сериях происходит постепенное приближение текущей вероятности к истинному значению . Вероятность появления оценки в первом опыте равна 0,5; вероятность того, что такое же значение будет получено в 10-м опыте равна . Иначе говоря, в среднем только в одной серии из тысячи после 10 опытов будет получаться значение оценки .

Не следует, однако, пытаться установить взаимосвязи между результатами в последовательно идущих опытах. Ошибочно популярное выражение «по теории вероятностей после радости — неприятности». Так же ошибочно ожидание повышения вероятности удачи после множества неудач, если на то нет иных оснований. Я спрашиваю у студента, неплохо освоившего теорию: «Что Вы будете загадывать перед очередным броском монеты, если до этого подряд выпало десять решек?» И получаю уверенный ответ: «Орел». Ответ подкрепляется аргументом: вероятность того, что в результате 11 опытов получится подряд 11 решек, равна . Обозначим как событие С получение 10 решек подряд и как событие D — появление орла. Тогда событие , противоположное прогнозируе­мому студентом, имеет ту же вероятность . Монета, брошенная в 11-й раз, не реагирует на то, какой результат был в предыдущих 10 опытах. Точно так же снаряд может попасть в ранее полученную воронку с неизменной вероятностью попадания в заданный участок поля боя. И точно так же способ отбора лотерейных билетов (вразброс, из разных пачек, у разных продавцов …) при покупке не влияет на вероятность выигрыша.

Если после 10 бросаний монеты получается один и тот же результат, естественнее его повторение и в 11-й раз: возможно, монета погнута.

Отмечаемое нами свойство — бесполезность каких либо стратегий выбора при чистой случайности — является частным случаем правила, выведенного С. Биром: детерминированное управление чисто случайным объектом не может быть сколько-нибудь эффективным.

Уроки на будущее:

1. Увеличение числа опытов приводит к повышению точности оценки;
2. Вместо суеверных попыток «обмануть случайность» следует находить закономерности и использовать их.