Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Предикаты и операции над ними



В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных, например: «х + 2 = 7», «город стоит на Волге». Эти предложения не являются высказываниями, т.к. о них нельзя сказать, истинны они или ложны. Однако при подстановке конкретных значений переменной х они обращаются в истинные или ложные высказывания. Так, в первом примере при х = 5 получаем истинное высказывание, а при х = 3 – ложное высказывание.

Определение. Предложение с переменными, которое при конкретных значениях переменных обращается в высказывание, называется высказывательной формой или предикатом.

По числу входящих в предикат переменных различают одноместные, двухместные и т.д. предикаты и обозначают А (х), В (х;у)…

Пример: А (х): «х делится на 2» – одноместный предикат, В (х; у): «прямая х перпендикулярна прямой у» – двухместный предикат.

Следует иметь в виду, что в предикате переменные могут содержаться неявно: «число делится на 2», «студент получил отличную оценку на экзамене по математике».

Задание предиката, как правило, предполагает и задание множества, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.

Определение. Множеством (областью) определения предиката называется множество Х, состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание.

Так, предикат «х > 2» можно рассматривать на множестве натуральных чисел или действительных чисел.

Каждый предикат А (х), х Î Х определяет множество Т Ì Х, состоящее из элементов, при подстановке которых в предикат А (х) вместо х получается истинное высказывание.

Определение. Множество, состоящее из всех тех значений, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание, называется множеством истинности предиката (обозначается Т).

Пример. Рассмотрим предикат А (х): «х < 5», заданный на множестве натуральных чисел. Т = {1; 2; 3; 4}.

Предикаты, как и высказывания, бывают элементарными и составными. Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок.

Пусть ТА – область истинности предиката А (х), ТВ – область истинности предиката В (х).

Определение. Конъюнкцией предикатов А (х) и В (х) называется предикат А (х) Ù В (х), который истинен для тех и только тех значениях х Î Х, для которых оба предиката истинны.

Покажем, что ТА Ù В = ТА Ç ТВ.

Доказательство. 1) Пусть а Î ТА Ù В Þ А (а) Ù В (а) – истинное высказывание. По определению конъюнкции имеем: А (а) – истинно, В (а) – истинно Þ а Î ТА Ù а Î ТВ Þ а Î ТА Ç ТВ Þ ТА Ù В Ì ТА Ç ТВ.

2) Пусть b Î ТА Ç ТВ Þ b Î ТА Ù b Î ТВ Þ А (b) – истинно, В (b) – истинно Þ по определению конъюнкции А (b) Ù В (b) – истинное высказывание Þ b Î ТА Ù В Þ ТА Ç ТВ Ì ТА Ù В .

Т.к. ТА Ù В Ì ТА Ç ТВ и ТА Ç ТВ Ì ТА Ù В , то по свойству равенства множеств ТА Ù В = ТА Ç ТВ, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для предикатов, содержащих более одной переменной.

Пример. Рассмотрим предикаты А (х): «х < 10», В (х): «х делится на 3», заданные на множестве натуральных чисел. Найдем область истинности предиката А (х) Ù В (х): «х < 10 и делится на 3».

ТА = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, ТВ = {3; 6; 9; 12; 15; …}, тогда ТА Ù В = {3; 6; 9}.

Определение. Дизъюнкцией предикатов А (х) и В (х) называется предикат А (х) Ú В (х), который истинен для тех и только тех значениях х Î Х, для которых истинен хотя бы один из предикатов.

Можно доказать (самостоятельно), что ТА Ú В = ТА È ТВ.

Пример. Рассмотрим предикаты А (х): «х делится на 2», В (х): «х делится на 3», заданные на множестве натуральных чисел. Найдем область истинности предиката А (х) Ú В (х): «х делится на 2 или на 3».

ТА = {2; 4; 6; 8; 10;…}, ТВ = {3; 6; 9; 12; 15; …}, ТА Ú В = {2; 3; 4; 6; 8; 9; …}.

Определение. Отрицанием предиката А (х) называется предикат . Он истинен для тех и только тех значениях х Î Х, для которых предикат А (х) ложен и наоборот.

Заметим, что = .

Определение. Импликацией предикатов А (х) и В (х) называется предикат А (х) Þ В (х) (читают: «Если А (х), то В (х)»). Он обращается в ложное высказывание при тех значениях х Î Х, для которых предикат А (х) истинен, а предикат В (х) ложен.

Из определения имеем, что предикат А (х) Þ В (х) ложен на множестве ТА Ç , а следовательно истинен на дополнении к этому множеству. Воспользовавшись законами операций над множествами, имеем: .

Контрольные вопросы

1. Что называется высказывательной формой или предикатом?

2. Какие различают предикаты по числу входящих в них переменных? Приведите примеры.

3. Какое множество называют областью определения предиката?

4. Какое множество называют множеством истинности предиката?

5. Что называют конъюнкцией предикатов? Докажите равенство, связывающее область истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.

6. Дайте определения дизъюнкции, отрицания, импликации предикатов. Запишите равенства, связывающие области истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.





Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 1506 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...