Функции roots( )и poly( )

Функции предназначены, соответственно, для вычисления корней полинома и его восстановления по значениям корней. Эти функции имеют вид: roots(Р), poly(r), где Р – вектор коэффициентов полинома; r – вектор корней полинома.

Пример. Как выглядит ЛОДУ 2-го порядка, если корни характеристического уравнения .

Решение:

>> poly([2+5i,2-5i])

ans = 1 -4 29

Имеем характеристическое уравнение и ЛОДУ

Пример. Найти корни уравнения

>> roots([1 -4 8 -8 4])

ans =

1.0000 + 1.0000i

1.0000 - 1.0000i

1.0000 + 1.0000i

1.0000 - 1.0000i

Пример 2.1 Решить уравнение .

Решение (аналитическое).

Для данного уравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение(при этом нужно сохранить коэффициенты, вместо поставить 1, вместо ее производной -того порядка поставить ): .

Преобразуя правую часть уравнения, получим ,

откуда .

В соответствии с формулой (2.5) получаем общее решение .

Решение в MATLAB.

Аналитическое:

>> dsolve('D3y-2*D2y-Dy+2*y=0')

ans = C1*exp(t)+C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)

Численное:

>> y0=[1 1 1 ];

>> tspan=[0 20];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y)

Пример 2.2 Решить уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение ,

один из корней которого можно получить методом проб.

Так как ,

то уравнение принимает вид ,

откуда . таким образом, характеристическое уравнение имеет один простой (однократный ) корень и двукратный корень .В соответствии с формулами (2.6) и (2.2) получаем общее решение .

MATLAB >> dsolve('D3y-7*D2y+15*Dy-9*y=0') ans = C1*exp(t)+C2*exp(3*t)+C3*exp(3*t)*t

>> y0=[2 0.5 0];

>> tspan=[0 10];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

Пример 2.3 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни Мнимым сопряженным корням и (для которых , ) соответствуют частные решения ,полученные из формул (2.7).

Таким образом, общее решение имеет вид .

Решение в MATLAB

>> dsolve('D4y-16*y=0')

ans = C1*cos(2*t)+C2*sin(2*t)+C3*exp(2*t)+C4*exp(-2*t)

>> y0

y0 = -5.0000 0.3300 7.0000 -5.0000

>> tspan=[0 1];

>> [t,y]=ode45('ex23',tspan,y0);

>> plot(t,y(:,1))

Пример 2.4 Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению:

.

Преобразуя левую часть этого уравнения, получим или .

Таким образом характеристическое уравнение

имеет один двукратный действительный корень и пару двукратных мнимых сопряженных корней . По формулам (2.8), (2.2) и (2.6) получаем общее решение .

Решение в MATLAB

>> dsolve('D6y+2*D4y+D2y=0')

ans = C1+C2*t+C3*cos(t)+C4*sin(t)+C5*cos(t)*t+C6*sin(t)*t

>> tspan=[0 5];

>> y0=[-1 1 0 -5 0 10];

>> [t,y]=ode45('ex25',tspan,y0);

>> plot(t,y(:,1))