Уравнения, допускающие понижение порядка

Пусть векторы заданы координатами , , .

Тогда смешанное произведение их вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.

. (4.15)

Лекция № 17

Интегрирование линейных ДУ высших порядков.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Теоретическая справка

Уравнения вида (1.1)

решается путем n – кратного интегрирования.

Уравнение , (1.2)

не содержащее искомой функции y, подстановкой , (1.3)

где - низшая из производных, сводится к уравнению (1.4)

порядок которого равен .

Уравнение , (1.5)

не содержащее независимой переменной , также допускает понижение порядка с помощью подстановки

Пример1.1 Решить уравнение .

Решение (аналитическое).

В левой части этого уравнения стоит третья производная искомой функции, в правой – функция только от , это уравнение вида (1.1).

Т.к. , то , , откуда .

Поскольку , то последнее уравнение можно переписать так: , , откуда или .

Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного уравнения .

Решение в среде MATLAB.

(Синтаксис команд MATLAB будет приведен ниже.)

1.Решим уравнение аналитически

>> dsolve('D3y=t*2')

ans =1/12*t^4+1/2*C1*t^2+C2*t+C3.

Как видно, ответ совпадает с точностью до названия переменной.

2. Решим уравнение численно и построим его график.

Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),а также интервал интегрирования и построения графика.

• Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

• Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.

>> tspan=[0 20];

>> y0=[1 1 1];

>> [t,y]=ode45('ex11',tspan,y0);

>> plot(t,y)

Пример 1.2 Решить уравнение .

Решим уравнение аналитически. Это уравнение вида (1.2), для которого , .

Принимая низшую производную за новую неизвестную функцию , осуществим подстановку (1.3):

,откуда . Т.о., данное уравнение сводится к уравнению первого порядка относительно : или , из которого получаем , в котором правая часть зависит только от , т.е. уравнение вида(1.1).

Трижды интегрируя, получаем соответственно: ; ;

;или , где , .

Решение в среде MATLAB.

1.Решим уравнение аналитически

>> dsolve('D4y*t+D3y=0')

ans = C1+C2*t+C3*t^2+C4*t^2*log(t)

2.Решим уравнение численно и построим его график.

Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),

а также интервал интегрирования и построения графика.

Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

Для избежания деления на 0 и «зацикливания» программы, добавляем к t малую величину 0,0000001, не влияющую, в общем, на численное решение.

Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.

>> y0=[1 1 1 1];

>> tspan=[0 20];

>> [T,Y]=ode45('ex12',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

Пример 1.3 Определить тип уравнения и метод решения

Это уравнение вида (1.2). Положим , тогда , поэтому уравнение имеет вид

, .

Пример 1.4 Решить дифференциальное уравнение

Решим уравнение аналитически. Это уравнение вида (1.5) решаем с помощью подстановки

Получаем . Отсюда

Подставляем начальные условия . Имеем . Решая, получаем . Подставляем начальные условия . - частное решение дифференциального уравнения.

Аналитическое решение в среде Matlab.

>> y=dsolve('y*D2y-Dy^2=0','y(0)=1','Dy(0)=2','x')

y = exp(2*x)

Численное решение в среде Matlab.

Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

function dydt=pr7(t,y);

dydt=zeros(2,1);

dydt(1)=y(2);

dydt(2)=y(2).^2./(y(1)+0.0000001); % Для избежания деления на 0 и «зацикливания» программы

Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.

>> y0=[1 2];

>> tspan=[0 1];

>> [t,y]=ode45('pr7',tspan,y0);