Структура общего решения неоднородной линейной системы

Рассмотрим неоднородную линейную систему (2.2):

.

Докажем следующие свойства ее решений:

Свойство 1. Сумма любого решения системы (2.2) и любого решения соответствующей однородной системы (4.2) является решением системы (2.2).

Доказательство.

Пусть с₁, с₂,…,с_n – решение системы (2.2), а d₁, d₂,…,d_n – решение системы (4.2) с теми же коэффициентами при неизвестных. Подставим в систему (2.2) x_i=c_i+d_i:

.

После перегруппировки слагаемых получим:

.

Но Следовательно, x_i=c_i+d_i является решением системы (2.2).

Свойство 2. Разность любых двух решений неоднородной системы (2.2) является решением соответствующей однородной системы (4.2).

Доказательство.

Пусть и - решения системы (2.2). Тогда

Утверждение доказано.

Следствие. Общее решение неоднородной системы (2.2) представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (4.2) и частного решения системы (2.2).

Пример.

Общее решение системы можно записать в виде:

, где - частное решение данной системы.