![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
У САПР рішення диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь із частковими похідними виконується чисельними методами. Ці методи засновані на дискретизації незалежних змінних – їхньому представленні кінцевою множиною значень в обраних вузлових крапках досліджуваного простору. Ці точки розглядаються як вузли деякої сітки, тому використовувані в САПР методи – це сіткові методи.
Серед сіткових методів найбільше поширення одержали два методи: метод кінцевих різностей (МКР) і метод скінченних елементів (МСЕ). Звичайно виконують дискретизацію просторових незалежних змінних, тобто використають просторову сітку. У цьому випадку результатом дискретизації є система звичайних диференціальних рівнянь для нестаціонарної задачі або система алгебраїчних рівнянь для стаціонарної.
Нехай необхідно вирішити рівняння
із заданими крайовими умовами
де й
— диференціальні оператори,
— фазова змінна,
— вектор незалежних змінних,
(
) і
(
) — задані функції незалежних змінних.
У методі кінцевих різностей алгебраізація похідних по просторових координатах базується на апроксимації похідних кінцево-різницевими виразами. При використанні методу потрібно вибрати кроки сітки по кожній координаті й вид шаблона. Під шаблоном розуміють множину вузлових точок, значення змінних у яких використовуються для апроксимації похідної в одній конкретній точці.
![]() |
Рис. 3. 2 Приклади шаблонів для одномірних і двовимірних задач
Приклади шаблонів для одномірних і двовимірних задач наведені на Рис. 3. На цьому рисунку кружком більшого діаметра позначені вузли, у яких апроксимується похідна. Чорними точками позначені вузли, значення фазової змінної в яких входять в апроксимуючий вираз. Число, записане біля вузла, дорівнює коефіцієнту, з яким значення фазової змінної входить в апроксимуюче вираження. Так, для одномірних шаблонів у верхній частині малюнка показана апроксимація похідної в точці
, і зазначеним шаблонам при їхньому перегляді ліворуч-праворуч відповідають апроксимації
де — крок дискретизації по осі
.
Шаблони для двовимірних задач у нижній частині Рис.3 відповідають наступним кінцево-різнистним операторам:
· лівий рисунок:
· середній рисунок:
· правий рисунок:
Тут — значення
в точці
; прийняті однакові значення кроків
по обох координатах.
Метод скінченних елементів заснований на апроксимації не похідних, а самого рішення . Але оскільки воно невідомо, то апроксимація виконується вираженнями з невизначеними коефіцієнтами
![]() | (3.23) |
де — вектор-рядок невизначених коефіцієнтів,
— вектор-стовпець координатних функцій (опорних функцій), заданих так, що задовольняються граничні умови.
При цьому мова йде про апроксимації рішення в межах скінченних елементів, а з урахуванням їхніх малих розмірів можна говорити про використання порівняно простих апроксимуючих виразів (наприклад,
— поліноми низьких ступенів). У результаті підстановки
у вихідне диференціальне рівняння й виконання операцій диференціювання одержуємо систему нев’язок
![]() | (3.24) |
з якої потрібно знайти вектор .
Цю задачу (визначення ) вирішують одним з наступних методів:
· метод коллокаций, у якому, використовуючи (3.24), формують рівнянь із невідомим вектором
:
де — число невизначених коефіцієнтів;
· метод найменших квадратів, заснований на мінімізації квадратів нев’язок у точках або в середньому по розглянутій області;
· метод Гальоркіна, за допомогою якого мінімізуються в середньому по області нев’язка зі спеціальними ваговими коефіцієнтами, що задаються.
Найбільше поширення МСЕ одержав у САПР машинобудування для аналізу міцності об’єктів. Для цієї задачі можна використовути розглянутий підхід, тобто виконати алгебраізацію вихідного рівняння пружності (рівняння Ламе). Однак більш зручним у реалізації МСЕ виявився підхід, заснований на варіаційних принципах механіки.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 525 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!