Магнитное поле в вакууме

Основные понятия, законы, соотношения

Магнитное поле. Вектор магнитной индукции В. Линии магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции.

Теорема о циркуляции вектора В.

[1]т.2 §§35, 36, 38; [2] §§109,110,118,119.

Основная задача теории магнитного поля заключается в расчете магнитной индукции поля, созданного системой токов и движущихся электрических зарядов.

Общий метод расчета магнитных полей основан на применении закона Био-Савара-Лапласа в дифференциальной форме и принципа супер­позиции. Здесь в общем случае необходимо:

1) сделать рисунок, указать на нем токи и указать точку поля, в которой требуется вычислить индукцию В;

2) выделить произвольный элемент тока Id ℓ и найти с помощью за­кона Био-Савара-Лапласа модуль и направление вектора d B магнитной индукции, создаваемого выделенным элементом тока в искомой точке;

3) в соответствии с принципом суперпозиции магнитная индукция в произвольной точке поля равна векторной сумме магнитных индукций dB,
созданного в этой точке всеми элементами тока, т.е.:

B = ∫ d B, (8.1)

где интегрирование производится по контуру проводника с током;

4) если проводник с током и точка, в которой находят вектор В, ле­жат в одной плоскости, то все элементарные вектора d B направлены вдоль одной прямой. Тогда геометрическое сложение заменяется алгебраическим и вместо (8.1) определяют модуль магнитной индукции:

(8.2)

В остальных случаях нужно ввести координатные оси и находить соответствующие проекции, например:

(8.3)

Второй метод расчета полей основан на применении теоремы о цир­куляции вектора магнитной индукции. Однако его применение ограничено симметричными полями, когда через точку, в которой требуется определить вектор В, можно провести такой замкнутый контур , совпадающий с лини­ей индукции поля, во всех точках которого индукция была бы одинакова по модулю. В этом случае циркуляция вектора В по контуру находится как произведение:

∫B · d ℓ = B·ℓ, (8.4)

где - длина данного контура.

Расчет магнитного поля по второму методу выполняется в следующей последовательности:

1) подбирают контур , удовлетворяющий указанным выше условиям,
выбирают направление его обхода;

2) определяют циркуляцию вектора магнитной индукции через произве­дение (8.4) и алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром ;

3) на основании теоремы о циркуляции вектора В составляют уравнение;

4) решают полученное уравнение и находят модуль вектора магнитной
индукции в искомой точке.

Пример 11.

По сплошному бесконечному цилиндрическому проводу ра­диуса течет постоянный ток плотности . Найти индукцию В поля внутри провода.

Решение. Из симметрии задачи следует, что линии вектора В представ­ляют собой окружности, центры которых лежат на оси провода, а модуль вектора одинаков во всех равноотстоящих от оси провода точках. Иначе говоря, он зависит только от одной координаты - расстояния до оси.

1) Проведем вспомогательный контур в виде окружности радиуса r < R

(рисунок 8). Направление его обхода свяжем с направлением тока правилом правого винта. На рисунке крестиками обозначено направление «от нас» вектора плотности тока j.

Рисунок 8

2) Циркуляция вектора B по выбранному нами контуру равна:

, (8.5)

т.к. во всех точках данного контура индукция по величине одинакова, а по направлению совпадает с касательной к окружности.

3) Ток, охватываемый нашим контуром, равен:

. (8.6)

4) Согласно теореме о циркуляции:

. (8.7)

5) откуда следует, что внутри провода индукция поля прямо пропорциональна расстоянию r до оси провода:

. (8.8)