Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными обслуживающими приборами в любой момент времени полностью определяется числом заявок k, находящихся в ней. Действительно, если k £ п, то k заявок находятся на обслуживании, очереди нет; k приборов заняты обслуживанием заявок, а n – k приборов свободны. Если k > n, то все приборы заняты (n заявок обслуживается), а k–п заявок находится в очереди.
Величина k может принимать значения k=0, 1, 2,..., N, где N = n+m, причем для СМО с отказами m =0, а для систем с неограниченной очередью т и N ®¥.
Увеличение числа заявок в системе (переход из состояния Sk в состояние Sk+ 1) происходит под воздействием потока заявок интенсивности l, которая не зависит от k, то есть
lk,k+ 1 = l. (6.1)
Уменьшение числа заявок в системе (переход из состояния Sk в состояние Sk– 1) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживании интенсивности m и потока уходов заявок из очереди (системы) интенсивности v, причем lk,k+ 1= f (k, n, m, v), а вид этой функции определяется типом СМО.
Из сказанного следует, что однофазной СМО соответствует граф состояний (рис. 6.3), вершины которого (S 0, S 1, S 2,...) образуют последовательную цепочку, и любые две соседние вершины соединены двумя встречно-направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения» (уменьшение и увеличение числа заявок).
Рис. 6.3. Схема однофазной СМО
Определим предельные вероятности состояний Рk, для СМО с конечным числом состояний. Для СМО Pk, – это вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится ровно k заявок.
В СМО с конечным числом состояний всегда имеет место стационарный режим, так как между любыми двумя вершинами графа существует маршрут.
Уравнения Колмогорова имеют вид:
– состояние S 0
l 10 P 1= l 01 P 0 (6.2)
– состояние S 1
l 01 P 0+ l 21 P 2= l 10 P 1+ l 12 P 1;
учитывая выражение (6.10), получим
l 21 P 2= l 12 P 1 (6.3)
– состояние S 2
l 12 P 1+ l 32 P 3= l 21 P 2+ l 23 P 2;
учитывая формулу (6.11), имеем
l 32 P 3= l 23 P 2 (6.4)
— состояние Sk -1 (по аналогии)
lk,k -1 Pk = lk -1, k Pk -1 (6.5)
– состояние SN -1
lN -1 ,N PN -1= lN , N -1 PN. (6.6)
Для состояния S N непосредственно по графу находим уравнение
lN -1 ,N PN -1= lN , N -1 PN,
которое совпадает с уравнением (6.6).
Поэтому последнее уравнение исключаем из рассмотрения, а вместо него используем условие нормировки
. (6.7)
Для решения системы уравнений (6.2) – (6.7) выразим все вероятности через Р 0 и получим
. (6.8)
Подставляя значения Р0 в формулу (6.7), получим
(6.9)
Обратим внимание на структуру формул (6.8) и (6.9). В формуле (6.8) имеем произведение отношений интенсивностей перехода слева направо к интенсивностям перехода справа налево для всех переходов между начальной и рассматриваемой вершинами графа состояний. В формуле (6.9) имеем сумму этих произведений, вычисленных для всех вершин графа .
Подставляя в формулы (6.8) и (6.9) значения интенсивностей переходов li,i -1 и li -1, I, для СМО любого типа можно рассчитать вероятности ее состояний и определить показатели эффективности.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 159 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!