Доказательство. 1. Необходимость. Дано: система совместна

1. Необходимость. Дано: система совместна. Тогда из условия совместности в операторной форме следует и вектор b может быть разложен по базису в образе. Это означает, что столбец В расширенной матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А, т.е. количество линейно независимых столбцов обеих матриц одинаково и, следовательно, Rg Rg A

2. Достаточность. Дано: Rg Rg A. Следовательно, обе матрицы имеют одни и те же базисные столбцы. Поэтому столбец В может быть представлен в виде линейной комбинации базисных столбцов матрицы А.Это означает, что и система совместна

БИЛЕТ 13.

Общим решением системы линейных уравнений назы­вается формула, которая определяет любое ее решение.

Фундаментальной системой решений однородной системы называется базис ядра оператора (точнее, координатные столбцы базисных векторов в Кег ).

Фундаментальной системой решений однородной системы назы­вается n — r линейно независимых решений этой системы.

Общее решение однородной системы линейных уравнений имеет вид

Где - фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и - произвольные постоянные.

Свойства общего решения однородной системы уравнений:

1. При любых значениях определяемое форму­лой, является решением системы. (Следует из линейности оператора .)

2. Каково бы ни было решение , существуют числа такие, что

.(Следует из того, что любой вектор пространства может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов.)

БИЛЕТ 14.

Общее решение неоднородной системы линейных уравне­ний имеет вид

где - какое-либо частное решение неоднородной системы.

— фундаментальная система решений соответствую­щей однородной системы.

— произвольные по­стоянные.

Свойства общего решения неоднородной системы уравнений:

1. При любых значениях определяемое формулой является решением системы.

2. Каково бы ни было решение существуют числа

такие, что .

БИЛЕТ 15.

Метод Гаусса- это метод последовательного исключения неизвестных из системы линейных уравнений. Метод заключается в домножении одного из уравнений системы на какое-нибудь число и сложение получившегося уравнения с другим уравнением системы чтобы один из неизвестных членов сокращался.

Например, дана система:

2x + y + z = 4

3x - 2y + z = 2

x – y – z = -1

Домножив первое уравнение на 2 и сложив со вторым уравнением системы получим:

2x + y + z = 4

7x+3z=10

x – y – z = -1

Сложив первое и третье уравнение системы, получим

3x=3 (=> x=1)

7x+3z=10

Получаем корни: x = y = z = 1.

Метод Гаусса используется при решении систем линейных уравнений, вычислении обратной матрицы, решении других задач линейной алгебры.

БИЛЕТ 16.

Линейные операции над векторами

Опр1: Вектор - направленный отрезок.

A – начало, В – конец.Если А=В =

1)Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на || прямых;

2) , , - компланарные, если будучи приведены к одному началу лежат в одной плоскости;

3) = , если а)| |=| |;б)

Опр2:Суммой векторов , назовем вектор , такой что:

Опр3:Произведением на вещественно число назовем :

1)| |=

2) , >0

, <0

Утв: Множество векторов(направленных отрезков) с операциями , введенными в опр2 и опр3, есть линейное пространство.

Свойства линейных операций над векторами:

1) + = +

2) ( + )+ = +( + )

3) ( + ) = +

4)

5)

6) : + =

7)

8)

Опр4: если