Доказательство. Подставим формулы =1, 2, , n, в k-e (k=1,2, ,n) уравнение системы

Подставим формулы =1, 2, …, n, в k-e (k=1,2,…,n) уравнение системы. Разлагая определители по i-тому столбцу, получим в левой части этого уравнения

где A - алгебраические дополнения к элементам а матрицы системы. После перемены порядка суммирования в правой части получим

Вторая сумма равна нулю при всех j за исключением j=k, при котором она равна . Следовательно, в первой сумме по j останется лишь одно слагаемое и все выражение будет равно . Таким образом . Так как k=1,2,…,n, то все уравнения системы обратились в тождества. Докажем, что решение единственное. Рассмотрим произвольное решение системы

, , …, и тождества, в которые превращаются уравнения системы при подстановке в них этого решения. Выберем произвольный номер i и умножим первое из этих тождеств на , второе на и так далее. Сложив полученные равенства, получим . Изменив порядок суммирования в левой части равенства и учитывая определение , получим

. Все слагаемые в первой сумме по j равны нулю, за исключением того, которое соответствует i=j. Поэтому равенство принимает вид . Далее получим . Поскольку номер i был взят произвольно, решение (i=1,2,…,n) совпадает с решением, определяемым формулами. Единственность доказана.

БИЛЕТ 12.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

, где (i=1, …, m, k=1, …, n)- коэффициенты системы, , , …, - неизвестные и - свободные члены.

Теорема (Кронекера—Капелли). Для того чтобы система линей­ных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.