![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Кожній квадратній матриці А порядку n ставиться у відповідність деяке число, яке називається визначником цієї матриці.
Позначення: det A (або | A |, або ΔA).
Визначення 2.6. Визначником матриці 1-го порядку (тобто матриці, що складає з одного елемента, одного числа) називається саме число, що утворює задану матрицю.
Визначення 2.7. Визначником матриці 2-го порядку називається число, яке утримується за допомогою елементів квадратної матриці 2-го порядку наступним чином:
.
Визначення 2.8. Визначник третього порядку обчислюється по формулі:
При обчисленні визначників 3-го порядку зручно користуватися правилом трикутників, що символічно можна представити так:
Приклади. Обчислити визначник третього порядку
1.
2.
Розглянемо визначник матриці А n -го порядку
Δn = .
Виділимо в ньому який-небудь елемент aij і викреслимо i -ий рядок й j -й стовпець, на перетинанні яких розташований цей елемент. Отриманий визначник (n -1) -го порядку називається мінором Mij елемента aij визначника Δn.
Алгебраїчним доповненням елемента aij визначника Δn називається число
Aij = (-1) i+j Mij. (2.3)
Визначник n-го порядку Δn обчислюється сумою добутку елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення
Δn = =
, 1 ≤ i,k ≤ n (2.4)
Приклади.
1. Обчислимо визначник 4-го порядку за допомогою розкладання по 2-му стовпцю. Для цього знайдемо
і
:
Отже,
2. Обчислити визначник .
= -1
= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
=
= 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
=
= 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Отже значення визначника: -10 + 6 – 40 = -44.
2.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)
Системою лінійних рівнянь (лінійною системою) називається система вигляду
(2.5)
де, ,
- числа,
- невідомі, n – число невідомих, m – число рівнянь.
Розв‘язок лінійної системи (2.5) називається набір чисел які при підстановці замість невідомих обертають кожне рівняння системи в тотожність.
Розв‘язання системи лінійних рівнянь методом Крамера
Розглянемо метод розв‘язаннясистеми лінійних алгебраїчних рівнянь, якій заснований на теоремі Крамера.
Система n рівнянь з n невідомими
(2.6)
у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, те система (2.6) має єдине розв‘язання і воно знаходиться за формулою:
xi = Di/D, (2.7)
де D = det A, а Di – визначник матриці, що утримується з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.
Di = . (2.8)
Формули обчислення невідомих (2.7) носять назву формул Крамера. Таким чином, правило Крамера дозволяє знайти єдине розв‘язаннясистеми (2.6) або зробити вивід про існування нескінченного числа розв‘язків або про їх відсутність:
1) Якщо
система (2.6) має єдине розв‘язання, яке визначається за формулами:
.
2) Якщо =
= 0, система має нескінченно багато розв‘язків.
3) Якщо = 0, а хоч би один з
≠ 0 система не має розв‘язків.
Якщо система однорідна, тобто bi = 0, то при D ¹ 0 система має єдине нульовий розв‘язок x1 = x2 = … = xn = 0.
Приклад. Знайти розв‘язок системи рівнянь:
D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
D1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x1 = D1/D = 1;
D2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. x2 = D2/D = 2;
D3 = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90. x3 = D3/D = 3.
2.4. Задачі для самостійного розв‘язання
Знайти добуток матриць:
2.1. Відповідь:
2.2. Відповідь:
2.3. Відповідь:
2.4. Відповідь:
2.5. Відповідь:
2.6. Відповідь:
Обчислити визначники
2.7. Відповідь: 2.8.
Відповідь:
2.9. . Відповідь: 2.10.
. Відповідь:
2.11. . Відповідь: 2.12.
. Відповідь:
2.13. . Відповідь: 2.14.
. Відповідь:
2.15. Відповідь: 2.16.
Відповідь:
Розв‘язати системи лінійних рівнянь методом Крамера
2.17. . Відповідь:
2.18. . Відповідь:
2.19. . Відповідь:
2.20. . Відповідь:
2.21. . Відповідь:
2.22. . Відповідь:
2.23. Відповідь: (-1; -2; 3)
2.24. Відповідь: (-2; 3; 1)
2.5. Розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь в
середовищі Maxima.
Одне з найпоширеніших задач лінійної алгебри – вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь. До розв’язання систем лінійних рівнянь зводяться багато задач математики, механіки, електротехніки, радіотехніки і інших галузях науки і техніки. Наприклад, чисельний розв‘язок багатьох звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь з частинними похідними методом кінцевих різниць зводиться до вирішення лінійних алгебраїчних рівнянь, в розділі «статика» теоретичної механіки рівняння рівноваги є системою лінійних алгебраїчних рівнянь, в електротехніці струми і напруга в складних ланцюгах обчислюються за правилом Кирхгофа із розв‘язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Система комп'ютерної математики Maxima має в своєму розпорядженні досить ефективні можливості розв’язання ці завдання, як в чисельному, так і в символьному (аналітичному) вигляді.
Розв‘язок СЛАР в матричної формі
Хай дано матричне рівняння AX = B, де A – квадратна матриця розмірності n; B – матриця-стовпець вільних членів розмірності n ×1; X – невідома матриця розмірності n ×1. Хай A – невироджена матриця (det(A) ≠ 0), тоді існує єдиний розв‘язокцього рівняння. У матричній формі розв’язок СЛАР можна знайти по формулі
X = A−1B, (2.9)
де A−1 обернена матриця до матриці А.
Розв’язання СЛАР в матричній формі розглянемо на прикладі.
Приклад. Знайти розв‘язок матричного рівняння AХ = В, где
Спочатку в середовищі Maxima задамо матриці A і B:
Перевіримо існування і єдність розв’язку:
Матриця A невироджена, значить, розв’язок існує і він єдиний. Знайдемо його:
Розв‘язання СЛАР методом Крамера
По методу Крамера розв’язання система n лінійних рівнянь
,
з n невідомими, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю (D = det A ≠ 0), визначається відношеннями
xi = Di/D, (2.10)
де D = det A, а Di – визначник матриці, що отримується із матриці системи А заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.
Таким чином, за правилом Крамера необхідно сформувати відповідні матриці, обчислити їх визначники DI і D, а невідомі знаходяться по формулі (2.10). Розв’язок СЛАУ методом Крамера розглянемо на прикладі.
Приклад. Знайти розв’язок системи
Знайдемо визначник основної матриці
Матриця D невироджена, значить, розв’язок існує і він єдиний. Знайдемо допоміжні матриці:
невідомі визначаються за формулами (2.10)
Розв‘язання СЛАР за допомогою спеціальних функцій Maxima
У системі комп'ютерної математики Maxima існують спеціальні функції що дозволяють вирішувати алгебраїчні рівняння і їх системи.
Функція solve
Функція solve здійснює символьне і чисельне розв‘язання алгебраічних рівнянь і їх систем. Дана функція застосовується також і для вирішення тригонометричних рівнянь. Синтаксис даної функції: ,
тут в перших квадратних дужках вказується список параметрів рівнянь через кому, у других - список змінних, через кому. Розглянемо приклади застосовності даної функції.
Розв‘язання системи рівнянь в символьном виді:
1. Чисельне розв‘язання лінійної системи рівнянь
Функція linsolve
Синтаксис даної функції такий же, як і функції solve. За допомогою цієї функції розглянемо вирішення попереднього прикладу.
Необхідно звернутися до основного меню Уравнения і перейти до вкладки Solve Linear System…
виникає допоміжне вікно, в якому необхідно вказати кількість рівнянь системи
після натиснення ОК з'являється нове вікно, в якому вводяться рівняння системи і невідомі змінні
Приклади для самостійного рішення
Розв’язати системи лінійних рівнянь AХ = В в системі Maxima
2.25. ,
. Відповідь:
2.26. ,
. Відповідь:
2.27. ,
. Відповідь:
2.28. ,
. Відповідь:
2.29. ,
. Відповідь:
2.30. ,
. Відповідь:
2.31. ,
Відповідь:
2.32. ,
Відповідь:
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 643 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!