Визначники

Кожній квадратній матриці А порядку n ставиться у відповідність деяке число, яке називається визначником цієї матриці.

Позначення: det A (або | A |, або Δ_A).

Визначення 2.6. Визначником матриці 1-го порядку (тобто матриці, що складає з одного елемента, одного числа) називається саме число, що утворює задану матрицю.

Визначення 2.7. Визначником матриці 2-го порядку називається число, яке утримується за допомогою елементів квадратної матриці 2-го порядку наступним чином:

.

Визначення 2.8. Визначник третього порядку обчислюється по формулі:

При обчисленні визначників 3-го порядку зручно користуватися правилом трикутників, що символічно можна представити так:

Приклади. Обчислити визначник третього порядку

1.

2.

Розглянемо визначник матриці А n -го порядку

Δ_n = .

Виділимо в ньому який-небудь елемент a_ij і викреслимо i -ий рядок й j -й стовпець, на перетинанні яких розташований цей елемент. Отриманий визначник (n -1) -го порядку називається мінором M_ij елемента a_ij визначника Δ_n.

Алгебраїчним доповненням елемента a_ij визначника Δ_n називається число

A_ij = (-1) ^i+j M_ij. (2.3)

Визначник n-го порядку Δ_n обчислюється сумою добутку елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення

Δ_n = = , 1 ≤ i,k ≤ n (2.4)

Приклади.

1. Обчислимо визначник 4-го порядку за допомогою розкладання по 2-му стовпцю. Для цього знайдемо і :

Отже,

2. Обчислити визначник .

= -1

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Отже значення визначника: -10 + 6 – 40 = -44.

2.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Системою лінійних рівнянь (лінійною системою) називається система вигляду

(2.5)

де, , - числа, - невідомі, n – число невідомих, m – число рівнянь.

Розв‘язок лінійної системи (2.5) називається набір чисел які при підстановці замість невідомих обертають кожне рівняння системи в тотожність.

Розв‘язання системи лінійних рівнянь методом Крамера

Розглянемо метод розв‘язаннясистеми лінійних алгебраїчних рівнянь, якій заснований на теоремі Крамера.

Система n рівнянь з n невідомими

(2.6)

у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, те система (2.6) має єдине розв‘язання і воно знаходиться за формулою:

x_i = D_i/D, (2.7)

де D = det A, а D_i – визначник матриці, що утримується з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів b_i.

D_i = . (2.8)

Формули обчислення невідомих (2.7) носять назву формул Крамера. Таким чином, правило Крамера дозволяє знайти єдине розв‘язаннясистеми (2.6) або зробити вивід про існування нескінченного числа розв‘язків або про їх відсутність:

1) Якщо система (2.6) має єдине розв‘язання, яке визначається за формулами:

.

2) Якщо = = 0, система має нескінченно багато розв‘язків.

3) Якщо = 0, а хоч би один з ≠ 0 система не має розв‘язків.

Якщо система однорідна, тобто b_i = 0, то при D ¹ 0 система має єдине нульовий розв‘язок x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

Приклад. Знайти розв‘язок системи рівнянь:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x₁ = D₁/D = 1;

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. x₂ = D₂/D = 2;

D₃ = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90. x₃ = D₃/D = 3.

2.4. Задачі для самостійного розв‘язання

Знайти добуток матриць:

2.1. Відповідь:

2.2. Відповідь:

2.3. Відповідь:

2.4. Відповідь:

2.5. Відповідь:

2.6. Відповідь:

Обчислити визначники

2.7. Відповідь: 2.8. Відповідь:

2.9. . Відповідь: 2.10. . Відповідь:

2.11. . Відповідь: 2.12. . Відповідь:

2.13. . Відповідь: 2.14. . Відповідь:

2.15. Відповідь: 2.16. Відповідь:

Розв‘язати системи лінійних рівнянь методом Крамера

2.17. . Відповідь:

2.18. . Відповідь:

2.19. . Відповідь:

2.20. . Відповідь:

2.21. . Відповідь:

2.22. . Відповідь:

2.23. Відповідь: (-1; -2; 3)

2.24. Відповідь: (-2; 3; 1)

2.5. Розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь в

середовищі Maxima.

Одне з найпоширеніших задач лінійної алгебри – вирішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь. До розв’язання систем лінійних рівнянь зводяться багато задач математики, механіки, електротехніки, радіотехніки і інших галузях науки і техніки. Наприклад, чисельний розв‘язок багатьох звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь з частинними похідними методом кінцевих різниць зводиться до вирішення лінійних алгебраїчних рівнянь, в розділі «статика» теоретичної механіки рівняння рівноваги є системою лінійних алгебраїчних рівнянь, в електротехніці струми і напруга в складних ланцюгах обчислюються за правилом Кирхгофа із розв‘язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Система комп'ютерної математики Maxima має в своєму розпорядженні досить ефективні можливості розв’язання ці завдання, як в чисельному, так і в символьному (аналітичному) вигляді.

Розв‘язок СЛАР в матричної формі

Хай дано матричне рівняння AX = B, де A – квадратна матриця розмірності n; B – матриця-стовпець вільних членів розмірності n ×1; X – невідома матриця розмірності n ×1. Хай A – невироджена матриця (det(A) ≠ 0), тоді існує єдиний розв‘язокцього рівняння. У матричній формі розв’язок СЛАР можна знайти по формулі

X = A⁻¹B, (2.9)

де A⁻¹ обернена матриця до матриці А.

Розв’язання СЛАР в матричній формі розглянемо на прикладі.

Приклад. Знайти розв‘язок матричного рівняння AХ = В, где

Спочатку в середовищі Maxima задамо матриці A і B:

Перевіримо існування і єдність розв’язку:

Матриця A невироджена, значить, розв’язок існує і він єдиний. Знайдемо його:

Розв‘язання СЛАР методом Крамера

По методу Крамера розв’язання система n лінійних рівнянь

,

з n невідомими, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю (D = det A ≠ 0), визначається відношеннями

x_i = D_i/D, (2.10)

де D = det A, а D_i – визначник матриці, що отримується із матриці системи А заміною стовпця i стовпцем вільних членів b_i.

Таким чином, за правилом Крамера необхідно сформувати відповідні матриці, обчислити їх визначники D_I і D, а невідомі знаходяться по формулі (2.10). Розв’язок СЛАУ методом Крамера розглянемо на прикладі.

Приклад. Знайти розв’язок системи

Знайдемо визначник основної матриці

Матриця D невироджена, значить, розв’язок існує і він єдиний. Знайдемо допоміжні матриці:

невідомі визначаються за формулами (2.10)

Розв‘язання СЛАР за допомогою спеціальних функцій Maxima

У системі комп'ютерної математики Maxima існують спеціальні функції що дозволяють вирішувати алгебраїчні рівняння і їх системи.

Функція solve

Функція solve здійснює символьне і чисельне розв‘язання алгебраічних рівнянь і їх систем. Дана функція застосовується також і для вирішення тригонометричних рівнянь. Синтаксис даної функції: ,

тут в перших квадратних дужках вказується список параметрів рівнянь через кому, у других - список змінних, через кому. Розглянемо приклади застосовності даної функції.

Розв‘язання системи рівнянь в символьном виді:

1. Чисельне розв‘язання лінійної системи рівнянь

Функція linsolve

Синтаксис даної функції такий же, як і функції solve. За допомогою цієї функції розглянемо вирішення попереднього прикладу.

Необхідно звернутися до основного меню Уравнения і перейти до вкладки Solve Linear System…

виникає допоміжне вікно, в якому необхідно вказати кількість рівнянь системи

після натиснення ОК з'являється нове вікно, в якому вводяться рівняння системи і невідомі змінні

Приклади для самостійного рішення

Розв’язати системи лінійних рівнянь AХ = В в системі Maxima

2.25. , . Відповідь:

2.26. , . Відповідь:

2.27. , . Відповідь:

2.28. , . Відповідь:

2.29. , . Відповідь:

2.30. , . Відповідь:

2.31. , Відповідь:

2.32. , Відповідь: