Задача 4. Задача 4. связана с действиями над матрицами

Указания к задаче.

Задача 4. связана с действиями над матрицами. Для решения этой задачи следует использовать следующие сведения:

1. Всякая система m·n, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей

m строк и n столбцов, называется матрицей размера m×n и записывается в виде:

2). Матрица размера m×m (количество строчек равно количеству столбцов) называется квадратной матрицей порядка m.

3). Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего утла к правому нижнему, называется главной диагональю, а вторая диагональ называется побочной.

4). Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные цифры нули, называется единичной матрицей n, обозначается следующим образом:

5) Две матрицы одной размерности равны друг другу, если равны все элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, т.е. если

6). Произведением матрицы

на число α называется матрица C_m×n, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A_m×n на число α.

7). Суммой двух матриц одной размерности

называется матрица Cm×n той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A_m×n и B_m×n, т.е.

8). Умножение матрицы на матрицу

Пусть даны две матрицы A_m×n и B_n×k, таких что число столбцов матрица А равно числу строк матрицы В. Тогда произведением матриц называется матрица C _m×k, каждый элемент которой c_ij равен сумме попарных произведений элементов i–й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрица В, т.е.

Заметим, что A·B≠B·A

9). Определители квадратных матриц

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое

Рассмотрим определителя для матриц первого, второго и третьего порядков:

а). Пусть А=(а₁₁), тогда Δ_А=│a₁₁│=a₁₁. (1)

Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого порядка совпадает с элементами матрицы А_1·1.

б) Пусть (2)

Из формулы (2) следует, что определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.

в). Пусть (3)

Формулу (3) запомнить значительно труднее, чем (1) и (2), но это и не требуется, так как существуют различные правила, позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит определитель для матрицы третьего порядка.

Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2.

Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1, а следующие три слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2.

10). Алгебраическим дополнением элемента а_ij квадратной матрицы A_m×n называется число А_ij, вычисляемое по формуле:

A_ij=(-1)^i+j·M_ij, где M_ij - определитель, полученный из определителя матрицы A_m×n удалением строки с номером i и столбца с номером j.

11). Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если A·A^-1=A^-1·A=E, где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А^-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от

12). Решение простейших алгебраических уравнений

а) А·X=В, где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой ≠0. Тогда X=А^-1·В.

б) X·А=В, - где, А и В заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой ≠0. Тогда X= А^-1·X.

Примеры 1). Выполнить действия: (А+2В)·С, где

Решение

2). Найти А^-1, если

Решение

, Тогда

Проверим, верно ли нашли А^-1. Для этого умножим А на А^-1 и убедимся, что получим единичную матрицу.

3). Решить уравнение AX-B=C, где

Решение

Тогда ,

Проверка

Задача 4. Решить матричное уравнение, сделать проверку.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

Задача 5

5.1-5.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

5.9. 5.10. 5.11. 5.12.

5.13. 5.14. 5.15. 5.16.

5.17. 5.18. 5.19. 5.20.

Указания к задаче.

Число λ называется собственным числом матрицы А n-го порядка, если существует такой ненулевой n-мерный вектор Х, что АХ= λХ. Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим её собственному числу λ.

Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих её собственному числу λ, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений

Задача. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Найдём характеристическое уравнение матрицы А:

При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам 3 столбца.

Найдём теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения

. Получаем λ₁ = 3, λ₂ = 1, λ₃ = -1.

Далее собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть искомый собственный вектор. Тогда система однородных уравнении будет иметь вид: или (1)

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как её определитель равен нулю.

При λ = λ₁= 3 система (1) принимает вид: . Общее решение этой системы , где х₂ – любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, х₂ = 1, тогда собственный вектор,, соответствующий собственному числу λ₁=3, имеет вид

При λ = λ₁ = 1 система (1) принимает вид: . Общее решение этой системы , где х₃ – любое число.

Пусть, например, х₃ = 1, тогда собственный вектор,, соответствующий собственному числу λ₂=1,

имеет вид .

Аналогично при λ = λ₃ = -1 система (1) принимает вид: . Общее решение этой системы , где х₂ – любое число.

Пусть, например, х₂ = 1, тогда собственный вектор,, соответствующий собственному числу λ₂=-1, имеет вид . Ответ: λ₁=3,λ₂=1,λ₃= -1, , ,